PRIMERA PARTE

1
REVOLUCIONARIO A SU PESAR

«Una nueva verdad científica no triunfa convenciendo a sus oponentes y haciéndoles ver la luz, sino más bien porque esos acaban muriendo y se ven reemplazados por una nueva generación familiarizada con la nueva verdad», escribió Max Planck cerca del final de su larga vida.[1] Bien podría esta frase, rayana en el cliché, haber servido de epitafio de no haber renunciado «en un acto de desesperación» a las ideas que, durante mucho tiempo, dio por sentadas.[2] «Los ojos penetrantes bajo la gran cúpula de su calva» convertían a Planck, ataviado con traje oscuro, camisa almidonada blanca y pajarita negra, en el arquetipo de funcionario prusiano de finales del siglo XIX.[3] Se mostraba muy cauteloso a la hora de comprometerse en cuestiones científicas o de cualquier otro tipo. «Mi máxima siempre ha sido —contó, en cierta ocasión, a un discípulo— considerar muy atentamente los pasos que debo dar y no permitir luego, si creo que debo llevarlos a cabo, que nada me detenga».[4] Planck no era, pues, hombre que cambiase fácilmente de ideas.

Su aspecto y actitud apenas habían cambiado cuando, a los alumnos de la década de 1920, como recuerda uno de ellos, les «parecía inconcebible que ese hombre hubiese encabezado la revolución».[5] El revolucionario a su pesar apenas si podía creer en sí mismo. Se consideraba «pacíficamente inclinado», huía de «toda aventura dudosa»[6] y confesaba carecer también de «la capacidad de reaccionar rápidamente a la estimulación intelectual».[7] Por más, no obstante, que necesitase varios años para reconciliar las nuevas ideas con su profundo conservadurismo fue Planck quien, en diciembre de 1900, a los cuarenta y dos años, puso en marcha, sin darse siquiera cuenta de ello, la revolución cuántica, al descubrir la ecuación que rige la distribución de radiación emitida por un cuerpo negro.

Todos los objetos, cuando están lo suficientemente calientes, irradian una combinación de luz y de calor cuya intensidad y color varían en función de la temperatura. La punta de un atizador de hierro dejado en el fuego empieza a resplandecer con un rojo apagado apenas visible. A medida que la temperatura aumenta, ese color pasa al cereza y el naranja-amarillento brillante hasta llegar finalmente a un blanco azulado. Cuando lo retiramos de la chimenea, sin embargo, el atizador se enfría atravesando en sentido contrario ese mismo espectro de colores hasta que deja de estar lo suficientemente caliente como para emitir luz visible. A partir de entonces, sigue emitiendo todavía una radiación invisible de calor, hasta que se enfría lo suficiente como para poder volver a tocarlo.

Fue un joven Isaac Newton de veintitrés años quien, en 1666, demostró que un haz de luz blanca está compuesto de hebras luminosas de diferentes colores y que basta con hacerle atravesar un prisma para descomponerlo y poner de manifiesto las siete franjas diferentes que lo componen (rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil y violeta).[8] Hubo que esperar hasta 1800 para aclarar si los extremos rojo y violeta representaban los límites del espectro luminoso o los del ojo humano. Solo entonces, con el descubrimiento de termómetros de mercurio lo suficientemente sensibles y precisos, el astrónomo William Herschel descubrió, colocando un termómetro en las diferentes bandas de colores que conforman el espectro luminoso, que su temperatura aumentaba, desde violeta hasta rojo. Pero su sorpresa aumentó cuando, dejando accidentalmente el termómetro unos centímetros más allá de la región correspondiente a la luz roja, acabó detectando lo que más tarde se llamó radiación infrarroja que, pese a resultar invisible al ojo humano, seguía irradiando calor.[9] Y un año más tarde Johann Ritter, sirviéndose del oscurecimiento del nitrato de plata cuando se ve expuesto a la luz, descubrió, más allá del violeta, otra región de luz invisible en el extremo opuesto del espectro, la llamada radiación ultravioleta. Que los objetos calientes emiten, a la misma temperatura, luz del mismo color era un dato bien conocido por los alfareros desde mucho antes de 1859, año en que Gustav Kirchhoff, físico alemán que, a los treinta y cuatro años, emprendió en la Universidad de Heidelberg una investigación teórica sobre la naturaleza de esta correlación. Para simplificar su análisis, Kirchhoff esbozó el concepto de «cuerpo negro», un cuerpo que absorbe toda la radiación que llega hasta él, un nombre perfecto, porque un cuerpo que absorbe toda radiación, sin reflejar nada, parece negro. Como perfecto emisor, sin embargo, su aspecto sería cualquier cosa menos negro si su temperatura fuese lo suficientemente elevada como para emitir en las longitudes de onda pertenecientes a la franja visible del espectro.

Kirchhoff concibió su cuerpo negro imaginario como un simple contenedor oscuro con un pequeño agujero en una de sus paredes. Y, puesto que cualquier radiación, tanto de luz visible como invisible, que entra en el contenedor lo hace a través de ese agujero, es, en realidad, el agujero el que imita al absorbente perfecto y actúa como cuerpo negro. Una vez dentro, la radiación se refleja de una pared a otra de la cavidad hasta que acaba absorbiéndose completamente. Imaginando que el exterior de este cuerpo negro estuviera aislado, Kirchhoff sabía que, si se calentaba, solo la superficie interior de las paredes emitiría radiaciones que llenarían la cavidad.

Al comienzo las paredes, como el atizador candente, emiten un intenso color cereza aun en el caso de que irradien predominantemente en la franja infrarroja del espectro. Luego, si asciende la temperatura, las paredes acabarán resplandeciendo de un color blanco-azulado, en la medida en que irradian en todo el espectro de longitudes de onda que va desde el infrarrojo hasta el ultravioleta. El agujero actúa como emisor perfecto, puesto que las radiaciones que escapan a través de él muestran todas las longitudes de onda presentes, a esa temperatura, en el interior del recipiente.

Kirchhoff demostró matemáticamente lo que, desde hacía mucho tiempo, llevaban observando, en sus hornos, los alfareros. La ley de Kirchhoff afirma que el rango y la intensidad de la radiación en el interior del recipiente no depende del material real, de la forma ni del tamaño del que pueda estar fabricado, sino tan solo de su temperatura. Kirchhoff había reducido ingeniosamente, de este modo, el problema del atizador de hierro: ¿cuál es la relación exacta que existe entre el rango y la intensidad de los colores emitidos a cierta temperatura y la energía irradiada, a esa misma temperatura, por un cuerpo negro? La tarea que Kirchhoff se impuso, tanto a sí mismo como a sus colegas, acabó conociéndose como el problema del cuerpo negro y consistía en medir, a cada temperatura, la distribución de energía espectral de la radiación del cuerpo negro, la cantidad de energía de cada longitud de onda emitida, desde el infrarrojo hasta el ultravioleta, y determinar la ecuación que reprodujese la distribución a una determinada temperatura.

Incapaz de seguir adelante teóricamente sin experimentar con un cuerpo negro real que lo guiase, Kirchhoff indicó, no obstante, a los físicos, el camino que debían seguir. La afirmación de que la distribución es independiente del material del que está construido el cuerpo negro significaba que la ecuación solo debía contener dos variables: la temperatura del cuerpo negro y la longitud de onda de la radiación emitida. Y puesto que se creía que la luz era una onda, la diferencia entre colores y matices dependía de un solo rasgo distintivo: la longitud de onda, es decir, la distancia existente entre dos crestas o dos valles. Inversamente proporcional a la longitud de onda es la frecuencia de la onda, o sea, el número de crestas o valles que pasan, cada segundo, por un determinado punto. Cuanto mayor es, pues, la longitud de onda, menor la frecuencia, y viceversa. Pero también hay una forma diferente, aunque equivalente, de medir la frecuencia de una onda, que se refiere al número de veces que sube y baja, es decir, el número de veces que «ondea», por segundo.[10]

figura 1. Rasgos distintivos de una onda.

Las dificultades técnicas que comportaban la construcción real de un cuerpo negro y los instrumentos de precisión necesarios para detectar y medir la radiación impidieron, durante cuarenta años, el avance de la investigación. Solo durante la década de 1880, cuando las empresas alemanas trataron de desarrollar bombillas y lámparas más eficaces que las de sus rivales británicos y estadounidenses, la medición del espectro del cuerpo negro y la legendaria ecuación de Kirchhoff acabaron convirtiéndose en una necesidad urgente.

La bombilla de filamento incandescente fue el último de una serie de inventos, entre los cuales cabe distinguir la lámpara de arco, la dinamo, el motor eléctrico y la telegrafía, que alentaron el rápido avance de la industria eléctrica. Y cada innovación ponía de relieve la necesidad cada vez más imperiosa de contar con un sistema establecido de unidades y criterios globales para la medida eléctrica.

Doscientos cincuenta delegados de veintidós países se congregaron en el año 1881 en París para asistir a la primera International Conference for the Determination of Electrical Units. Aunque ya se contaba con el voltio, el amperio y otras unidades, que habían sido establecidas y definidas, la falta de acuerdo sobre un criterio de luminosidad empezó a obstaculizar el desarrollo de medidas más eficaces de energía para producir luz artificial. El cuerpo negro, en cuanto emisor perfecto a cualquier temperatura, emite la mayor cantidad de calor (es decir, de radiación infrarroja). Y, en ese mismo sentido, el espectro del cuerpo negro podía servir como criterio de comparación para calibrar y producir una bombilla que, emitiendo la mayor cantidad de luz, redujese también al máximo, al mismo tiempo, el calor emitido.

«En la competición internacional que, en estos momentos, se halla tan activa, el país que antes explore nuevos caminos y los desarrolle en ramas establecidas de la industria será el que obtenga una ventaja decisiva», escribió el industrial e inventor de la dinamo eléctrica Werner von Siemens.[11] Decidido a ser el primero, el Gobierno alemán fundó, en 1887, el Physikalisch-Technische Reichsanstalt (PTR) [el Instituto Imperial de Física y Tecnología]. Ubicado en Charlottenburg, en las afueras de Berlín, en terrenos donados por Siemens, el PTR fue concebido como una institución destinada a desafiar a Inglaterra y Estados Unidos. La construcción del complejo duró más de una década y acabó convirtiéndose en el centro de investigación más caro y mejor equipado de todo el mundo. Su misión era colocar a Alemania en la vanguardia de la ciencia aplicada, desarrollando aparatos y comprobando nuevos productos. Entre su lista de prioridades se hallaba el establecimiento de una unidad de luminosidad reconocida internacionalmente. La necesidad de fabricar una bombilla mejor fue la fuerza impulsora que alentó, durante la última década del siglo XIX, el programa de investigación del cuerpo negro llevado a cabo por el PTR. Y eso fue lo que acabó conduciendo al descubrimiento accidental de los cuantos cuando Planck se convirtió en el hombre adecuado, en el lugar adecuado y en el momento adecuado.

Max Karl Ernst Ludwig Planck nació en Kiel, que por aquel entonces formaba parte de la región danesa de Holstein, el 23 de abril de 1858, en el seno de una familia entregada al servicio de la Iglesia y el Estado. Bien podríamos decir que su herencia era la excelencia en la erudición. Su abuelo y bisabuelo paternos habían sido destacados teólogos y su padre había sido profesor de derecho constitucional de la Universidad de Múnich. Eran hombres honestos, rectos y patrióticos que veneraban las leyes de Dios y de los hombres. Y Max no fue, en este sentido, ninguna excepción.

Planck asistió al Maximilian Gymnasium, el más conocido de los institutos de Múnich. Y, por más que destacara y fuese muy trabajador y disciplinado, nunca fue el primero de la clase. Las cualidades exigidas por ese programa educativo giraban en torno al aprendizaje y la memorización de una extraordinaria cantidad de datos. Un informe escolar afirmaba que a los diez años poseía, «a pesar de su infantilismo, una mente muy clara y muy lógica. Se muestra como una gran promesa».[12] No eran, a sus dieciséis años, las famosas tabernas de Múnich las que llamaban la atención del joven Planck, sino el teatro de la ópera y las salas de conciertos. Pianista talentoso, barajó la posibilidad de dedicarse profesionalmente a la música. Pero cuando, inseguro, solicitó consejo al respecto, recibió la rotunda respuesta: «¡Será mejor, si tiene que preguntarlo, que estudie otra cosa!».[13]

En octubre de 1874 Planck, movilizado por su deseo de entender el funcionamiento de la naturaleza, se matriculó, con dieciséis años, en la Universidad de Múnich, decidido a estudiar física. A diferencia del régimen casi militarista imperante en los Gymnasiums, los universitarios alemanes de la época gozaban de una libertad casi total. Sin tener que satisfacer ningún requisito establecido y con muy poca supervisión académica, el sistema permitía a sus alumnos pasar de una universidad a otra estudiando los cursos que más les interesaban. Más pronto o más tarde, quienes deseaban seguir una carrera académica estudiaban, en las universidades más prestigiosas, con los profesores más famosos. Después de pasar tres años en Múnich, donde le dijeron que «no vale la pena que estudies física» porque ya no queda nada importante por descubrir, Planck se desplazó a la Universidad de Berlín, la más importante de todas las de habla alemana.[14]

Con el establecimiento, después de la victoria prusiana sobre Francia durante la guerra de 1870-1871, de una Alemania unificada, Berlín se convirtió en la capital de una nueva y poderosa nación europea. Ubicada en la confluencia entre los ríos Havel y Spree, las indemnizaciones económicas de la guerra con Francia posibilitaron un rápido desarrollo que aspiraba a equipararla a Londres y París. Entre los años 1891 y 1900, la población pasó de 865.000 habitantes a cerca de dos millones, convirtiendo a Berlín en la tercera ciudad más grande de Europa.[15] Entre los recién llegados se hallaban judíos que habían escapado de la persecución en Europa oriental, especialmente de los pogromos de la Rusia zarista. Era inevitable que, dadas esas condiciones, el coste de la vida y la vivienda aumentase, generando un gran número de indigentes y personas sin techo. Los fabricantes de cajas de cartón anunciaban «cajas buenas y baratas para vivir», mientras los barrios de chabolas crecían en varias partes de la ciudad.[16]

A pesar de la realidad poco halagüeña que muchos encontraban al llegar a Berlín, Alemania estaba entrando en una época de desarrollo industrial, progreso tecnológico y prosperidad económica sin precedentes. Fundamentalmente impulsado por la abolición de los aranceles que siguió a la unificación, de las indemnizaciones de la guerra con Francia y del estallido de la Primera Guerra Mundial, el poder económico e industrial de Alemania solo era inferior al de Estados Unidos. Por aquel entonces producía cerca de las dos terceras partes del acero y la mitad del carbón que consumía la Europa continental y generaba más electricidad que Inglaterra, Francia e Italia juntas. La recesión y la ansiedad que afectaron a Europa después de la crisis bursátil de 1873 solo enlentecieron unos pocos años el avance del desarrollo alemán.

La unificación trajo consigo la necesidad de asegurarse de que Berlín, en cuanto símbolo del nuevo Reich, tuviese una universidad equiparable a cualquier otra. El más reconocido médico de toda Alemania, Herman von Helmholtz, se vio tentado a cambiar Heidelberg por Berlín. Diestro cirujano, Helmholtz era también un famoso fisiólogo que, gracias a la invención del oftalmoscopio, había llevado a cabo contribuciones fundamentales en la comprensión del funcionamiento del ojo humano. Buen conocedor de sus méritos, el erudito de cincuenta años no solo recibió un salario muy superior al habitual, sino que exigió también un nuevo instituto de física. Todavía estaba construyéndose en 1877 cuando Planck llegó a Berlín y empezó a pronunciar conferencias en el principal edificio de la universidad, un antiguo palacio ubicado en Unter den Linden [«Bajo los tilos», el principal bulevar de la ciudad], frente al Teatro de la Ópera.

Como profesor, Helmholtz resultaba muy decepcionante. «Era evidente —dijo posteriormente Planck— que nunca se preparaba las clases».[17] Gustav Kirchhoff, que también se había trasladado desde Heidelberg para asumir el cargo de profesor de física teórica, se hallaba, por su parte, tan bien preparado que daba sus conferencias «de memoria, como si se tratara de un texto seco y monótono».[18] Ansioso de inspiración, Planck admitió que «las clases de esos hombres no me hicieron avanzar gran cosa».[19] Fue entonces cuando, buscando saciar su «sed de conocimiento científico avanzado», tropezó accidentalmente, en la Universidad de Bonn, con Rudolf Clausius, un físico alemán de cincuenta y seis años.[20]

A diferencia de la deslustrada enseñanza de sus dos estimados maestros, Planck se quedó inmediatamente cautivado por «el estilo lúcido y la iluminadora claridad del razonamiento» de Clausius.[21] Y fue también así como, apenas leyó los artículos de termodinámica escritos por Clausius, recuperó el entusiasmo por la física. Centrada en el calor y en sus relaciones con diferentes tipos de energía, los fundamentos de la termodinámica se hallaban, por aquel entonces, encerrados en un par de leyes.[22] La primera de ellas era una rigurosa formulación del hecho de que la energía, considerémosla como la consideremos, posee la propiedad especial de conservarse. En este sentido, la energía no se crea ni se destruye, sino que tan solo se transforma de una modalidad a otra. Una manzana colgada de un árbol posee, en virtud de la posición que ocupa en el campo gravitatorio de la Tierra, es decir, de su altura sobre el suelo, una determinada energía potencial. Y, cuando cae, la energía potencial de la manzana se convierte en energía cinética, es decir, en la energía del movimiento.

Planck era un simple estudiante cuando tuvo la primera noticia de la ley de conservación de la energía y se vio sacudido por ella —como posteriormente dijo— «como si de una revelación se tratara, por su validez absoluta y universal, independiente de toda intervención humana».[23] Fue como si, en ese momento, hubiese percibido un vislumbre de lo eterno, a partir del cual el descubrimiento de leyes absolutas o fundamentales de la naturaleza acabó convirtiéndose, para él, en «la búsqueda científica más sublime de la vida».[24] Luego se quedó nuevamente embelesado al leer la formulación de Clausius de la segunda ley de la termodinámica: «El calor no pasa espontáneamente de un cuerpo más frío a otro más caliente».[25] La posterior invención del frigorífico ilustró lo que Clausius entendía por «espontáneamente» porque, para que el calor pudiese fluir de un cuerpo más frío a otro más caliente, era necesaria la conexión con una fuente externa de energía, en este caso, la energía eléctrica.

Pero Planck se dio cuenta de que Clausius no estaba afirmando simplemente una evidencia, sino algo mucho más profundo. El calor, es decir, la transferencia de energía desde A hasta B debida a la diferencia de temperatura existente entre ambos puntos explica ocurrencias cotidianas como el enfriamiento de una taza de café o que los cubitos de hielo de un vaso de agua acaben fundiéndose. Lo contrario es, en ausencia de intervención externa, imposible. ¿Por qué? La ley de conservación de la energía no prohíbe que una taza de café se caliente y que el aire que la rodea se enfríe, ni tampoco que el vaso de agua se caliente y el hielo se enfríe. Pero, por más que tampoco prohíba el flujo espontáneo de calor de un cuerpo frío a otro caliente, algo impide que eso ocurra. Clausius descubrió de qué se trataba y lo llamó entropía, algo que explica por qué, en la naturaleza, algunos procesos ocurren y otros no.

Cuando una taza de café caliente se enfría, el aire que la rodea se calienta, al tiempo que la energía se disipa y se pierde irremediablemente, mientras que lo contrario no puede ocurrir. Si la conservación de la energía fuese el modo en que la naturaleza equilibra cualquier posible transacción física, la naturaleza exigiría un precio por cada transacción real. La entropía es, según Clausius, el precio que hay que pagar para que algo suceda o no suceda. Por eso, en los sistemas aislados, solo son posibles aquellos procesos o transacciones en los que la entropía aumenta o se mantiene igual. Cualquier cosa que conduzca a una reducción de la entropía se halla estrictamente prohibida.

Clausius definió la entropía como la cantidad de calor dentro o fuera de un cuerpo o de un sistema dividido por la temperatura a la que se produce. Si un cuerpo caliente que se encuentra a 500 °C transmite 1.000 unidades de energía a un cuerpo más frío que se encuentra a 250 °C, su entropía se ha reducido –1.000/500, es decir, –2. Por su parte, el cuerpo más frío a 250 °C ha ganado 1.000 unidades de energía, +1.000/250, y su entropía, en consecuencia, ha aumentado 4. Así es como la entropía global del sistema, que combina la de los cuerpos caliente y frío, ha aumentado un par de unidades de energía por grado. Todos los procesos reales son irreversibles, porque van acompañados de un aumento de la entropía. De este modo, la naturaleza impide que el calor pase espontáneamente, por sí mismo, de algo frío a algo caliente. Solo los procesos ideales, es decir, aquellos procesos en los que la entropía se mantiene, pueden invertirse. Pero tal cosa, sin embargo, jamás ocurre en la práctica, sino tan solo en la mente de los físicos. De ahí que la entropía del universo siempre tiende a aumentar.

Planck consideraba que la entropía es, junto a la energía, «la propiedad más importante de los sistemas físicos».[26] Pasada su estancia de un año en Berlín, regresó a la Universidad de Múnich, donde dedicó su tesis doctoral a la investigación del concepto de irreversibilidad, que acabó convirtiéndose en su tarjeta de visita. Para su consternación, esa tesis «no despertó el menor interés, ni siquiera entre los físicos que más interesados estaban por el tema».[27] Helmholtz no la leyó, y, pese a que Kirchhoff sí lo hizo, se mostró en desacuerdo con ella. Por su parte, Clausius, que tanta influencia había tenido en él, ni siquiera respondió a su carta. «El efecto que mi tesis tuvo sobre los físicos de la época fue nulo», recordaba, con cierta amargura, setenta años más tarde. Pero la «compulsión interna» que le movía parecía irrevocable.[28] La termodinámica, especialmente su segunda ley, se convirtió, cuando emprendió su carrera académica, en el foco de la investigación de Planck.[29]

Las universidades alemanas eran instituciones estatales. Tanto los profesores ordinarios como los extraordinarios (adjuntos) eran funcionarios civiles contratados y pagados por el Ministerio de Educación. En 1880, Planck se convirtió en privatdozent [es decir, persona que posee todos los requisitos necesarios para convertirse en profesor universitario] de la Universidad de Múnich. Sin estar contratado por el Estado ni por la universidad, se ganaba la vida a cambio de un salario financiado por los alumnos que asistían a sus clases. Pasó cinco años esperando en vano que le contratasen como profesor adjunto. Como teórico interesado en dirigir experimentos, sus oportunidades de ascenso eran muy pequeñas, porque la física teórica todavía no se hallaba firmemente establecida como disciplina académica. En 1900 solo había, por ejemplo, en toda Alemania, dieciséis profesores de física teórica.

Planck sabía bien que, para su carrera profesional, era muy interesante «labrarse una reputación en el campo de la ciencia».[30] Esa oportunidad le llegó cuando la Universidad de Gotinga anunció que el tema de su conocido certamen de ensayo era «La naturaleza de la energía». Mientras estaba trabajando en este artículo recibió, en 1855, a los veintisiete años, lo que él mismo calificó como «un mensaje de liberación».[31] La carta en cuestión le ofrecía un puesto como profesor adjunto en la Universidad de Kiel. Y aunque Planck sospechaba que la amistad de su padre con el jefe del Departamento de Física de Kiel no era ajena a esa oferta y que había otros que merecían el puesto más que él, decidió finalmente aceptar. Poco después de llegar a su ciudad natal presentó también su solicitud al concurso de Gotinga.

A pesar de que solo se presentaron tres artículos, tuvieron que pasar dos sorprendentes años antes de que se anunciase que el primer premio había quedado vacante. Y aunque Planck consiguió el segundo premio, le negaron el primero debido a su apoyo a Helmholtz en una disputa científica con un miembro de la Facultad de Gotinga. Fue precisamente la conducta de esos jueces la que llamó la atención de Helmholtz hacia Planck y su obra. Pasados tres años en Kiel, en noviembre de 1888 Planck recibió un honor inesperado. Y es que, después de que otros declinasen la oferta, le pidieron, con el apoyo de Helmholtz, que sucediese a Gustav Kirchhoff como profesor de física teórica en la Universidad de Berlín.

La capital distaba mucho, durante la primavera de 1889, de ser la ciudad que, once años antes, había abandonado Planck. El moderno alumbrado eléctrico iluminaba, por la noche, las principales calles y el nuevo sistema de alcantarillado había reemplazado a los viejos sumideros al aire libre, poniendo así fin al hedor que tan desagradable resultaba para los visitantes. Helmholtz había dejado de ser director del Instituto de Física de la universidad y había pasado a dirigir el PTR, la impresionante nueva institución ubicada a unos cuatro kilómetros. August Kundt, su sucesor, que no había desempeñado papel alguno en el contrato de Planck, le dio la bienvenida como «una excelente adquisición» y «un hombre espléndido».[32]

En 1894, Helmholtz, de setenta y tres años, y Kundt, de tan solo cincuenta y cinco, murieron con pocas semanas de diferencia. Fue entonces cuando Planck, que por aquel entonces solo hacía dos años que había logrado un puesto como profesor ordinario, pasó a ser, a los treinta y seis años, el físico más importante de la mayor universidad alemana. No le quedó entonces más alternativa que asumir el peso de las responsabilidades que todo ello comportaba, convirtiéndose también en asesor de física teórica de la revista Annalen der Physik. Se trataba de una posición de inmensa influencia que le proporcionaba el derecho a vetar cualquier artículo teórico publicado en la más importante de todas las revistas de física alemana. La presión de su nuevo cargo y la profunda sensación de pérdida debida a la muerte de sus dos queridos colegas le llevaron a buscar consuelo en su trabajo.

Como líder de la comunidad estrechamente unida de físicos de Berlín, Planck era muy consciente de que el programa del PTR seguía impulsado por la investigación del cuerpo negro apoyada por la industria. Aunque la termodinámica era central para cualquier análisis teórico de la luz y el calor irradiado por un cuerpo negro, la falta de datos experimentales fiables impidió a Planck determinar la forma exacta de la ecuación desconocida de Kirchhoff. Entonces fue cuando un viejo amigo del PTR llevó a cabo un gran descubrimiento que impidió que siguiera eludiendo por más tiempo el problema del cuerpo negro.

En febrero de 1893 Wilhelm Wien, que por aquel entonces tenía veintinueve años, descubrió una sencilla relación matemática que describía el efecto del cambio de temperatura en la distribución de la radiación emitida por el cuerpo negro.[33] Wien vio que, en la medida en que aumenta la temperatura del cuerpo negro, disminuye la longitud de onda a la que se produce el pico de emisión.[34] Hacía tiempo que se sabía que el aumento de temperatura podía ir acompañado de un aumento en la cantidad total de energía emitida, pero la «ley de desplazamiento» de Wien revelaba algo mucho más exacto: que la longitud de onda a la que se emite la mayor radiación multiplicada por la temperatura de un cuerpo negro es siempre una constante. En este sentido, por ejemplo, si la temperatura se duplica, la longitud de onda «cumbre» será la mitad de la anterior.

El descubrimiento de Wien significaba que, una vez calculada la constante numérica midiendo la longitud de onda a la que, a determinada temperatura, se produce el pico de emisión, podía calcularse la longitud de onda pico para cualquier otra temperatura.[35] Y también explicaba, dicho sea de paso, el cambio de color del atizador de hierro candente. Empezando a baja temperatura, el atizador emite radiación de longitud de onda predominantemente larga en la región infrarroja del espectro. Cuanto más aumenta la temperatura, mayor es la energía que se irradia en cada región y más disminuye la longitud de onda pico, que se «desplaza» así hacia longitudes de onda más cortas. En consecuencia, el color de la luz emitida cambia, a medida que aumenta la cantidad de radiación emitida desde el extremo ultravioleta del espectro, de rojo a naranja, luego a amarillo y, finalmente, a un blanco azulado.

FIGURA 2. Distribución de la radiación del cuerpo negro que muestra la ley de desplazamiento de Wien.

Wien formaba parte de esa generación de físicos, ciertamente en peligro de extinción, que eran, al mismo tiempo, teóricos competentes y hábiles experimentadores. Descubrió, en su tiempo libre, la ley del desplazamiento y se vio obligado a publicarla como «comunicación privada», sin el respaldo del PTR. Durante esa época trabajó como asistente del laboratorio de óptica de este instituto bajo la dirección de Otto Lummer. El trabajo cotidiano de Wien era un requisito para cualquier investigación experimental sobre la radiación del cuerpo negro.

Su primera tarea fue construir un mejor fotómetro, un instrumento capaz de comparar la intensidad de la luz —es decir, la cantidad de energía de un determinado rango de longitud de onda— procedente de fuentes diversas como, por ejemplo, lámparas de gas y bombillas eléctricas. Fue en otoño de 1895, antes de que Lummer y Wien diseñasen un nuevo y mejorado cuerpo negro vacío capaz de ser calentado a una temperatura uniforme. Mientras él y Lummer desarrollaban, durante el día, su nuevo cuerpo negro, Wien pasaba las tardes buscando la ecuación de Kirchhoff para la distribución de la radiación del cuerpo negro. En 1896, Wien estableció una ecuación que Friedrich Paschen, de la Universidad de Hannover, no tardó en confirmar que coincidía con los datos que había recogido sobre la distribución de la energía entre las longitudes de onda cortas de la radiación del cuerpo negro.

En junio de ese mismo año, el mismo mes en que se publicaba la «ley de distribución», Wien abandonaba el PTR por una cátedra extraordinaria en la Technische Hochschule de Aquisgrán. Finalmente ganaría, en 1911, el Premio Nobel de Física, por su trabajo sobre la radiación del cuerpo negro, pero permitió que Lummer sometiera a una rigurosa prueba su ley de la distribución. Pero ello requería llevar a cabo mediciones de temperatura de un rango más amplio y elevado que nunca. Trabajando con Ferdinand Kurlbaum y posteriormente con Ernst Pringsheim, Lummer necesitó dos largos años de perfeccionamientos y modificaciones, pero en 1898 contaba con un cuerpo negro calentado eléctricamente de última generación. El logro, capaz de alcanzar temperaturas de 1.500 °C, representó la culminación de más de una década de minucioso esfuerzo del PTR.

Representando la intensidad de la radiación en el eje de ordenadas [vertical] de una gráfica y la longitud de onda de la radiación en el eje de abscisas [horizontal], Lummer y Pringsheim descubrieron que la intensidad aumentaba al mismo tiempo en que lo hacía la longitud de onda de la radiación, hasta llegar a un punto en el que volvía a caer. La distribución del espectro de energía emitido por la radiación de un cuerpo negro se asemejaba a una curva en forma de campana o, mejor dicho, a la aleta dorsal de un tiburón. De este modo, cuanto más elevada era la temperatura, más acusada era la forma, en la misma medida en que aumentaba la intensidad de la radiación emitida. La representación gráfica de las lecturas y las curvas obtenidas calentando el cuerpo negro a diferentes temperaturas mostraba que, si la temperatura aumentaba, la longitud de onda a la que se producía el pico de emisión se desplazaba hacia el extremo ultravioleta del espectro.

Lummer y Pringsheim presentaron sus resultados en un encuentro celebrado el 3 de febrero de 1889 en la Sociedad de Física Alemana de Berlín.[36] Lummer contó a todos los físicos reunidos, entre los que se hallaba Planck, que sus descubrimientos confirmaban la ley del desplazamiento de Wien. Pero la situación al respecto no estaba clara porque, aunque hablando en términos generales los datos experimentales coincidían con las predicciones teóricas de Wien, había ciertas discrepancias en la región infrarroja del espectro.[37] Y aunque esas discrepancias se debieran, con toda probabilidad, a errores experimentales, se trataba de una cuestión que solo podía dirimirse ampliando «el experimento hasta incluir un espectro más amplio de longitudes de onda y desplegando también un abanico más amplio de temperaturas».[38]

Al cabo de tres meses, Friedrich Paschen anunció que sus datos, aunque recopilados a temperaturas inferiores a las de Lummer y Pringsheim, coincidían perfectamente con las predicciones de la ley de distribución de Wien. Planck dio un suspiro de alivio y leyó en voz alta, en una sesión de la Academia Prusiana de Ciencias, el artículo de Paschen. Para Planck, la búsqueda teórica de la distribución de la energía espectral de la radiación del cuerpo negro era una forma de búsqueda de lo absoluto, y, «como siempre había considerado la búsqueda de lo absoluto como el objetivo más elevado de toda actividad científica, me apresté ansiosamente a trabajar».[39]

Poco después de que Wien publicase, en 1896, su ley de la distribución, Planck se empeñó en asentarla sobre fundamentos sólidos estableciendo los principios de los que se derivaba. Tres años más tarde creyó haberlo logrado basándose en la autoridad de la segunda ley de la termodinámica. Hubo entonces quienes empezaron a referirse a ella, desatendiendo las afirmaciones y réplicas de los experimentalistas, como la ley de Wien-Planck. Planck confiaba en que «los límites de validez de esta ley, en el caso de que los haya, coinciden con los de la segunda ley fundamental de la teoría del calor».[40] Y, en ese mismo sentido, abogaba por la necesidad urgente de corroborar la ley de distribución que, para él, representaba simultáneamente un espaldarazo a la segunda ley. Lo cierto es que su deseo no tardó en convertirse en una realidad.

A comienzos de noviembre de 1899, después de pasar nueve meses ampliando el rango de sus medidas y eliminando también posibles fuentes de errores experimentales, Lummer y Pringsheim afirmaron haber «descubierto discrepancias sistemáticas entre la teoría y el experimento».[41] Y es que, aunque en el rango de las longitudes de onda cortas el acuerdo era perfecto, la ley de Wien sobrestimaba de un modo aparentemente coherente la intensidad de la radiación en el rango de las longitudes de onda largas. A las pocas semanas, sin embargo, Paschen contradijo a Lummer y Pringsheim, presentando un nuevo conjunto de datos y concluyendo que «la ley de la distribución parece rigurosamente una ley válida de la naturaleza».[42]

Como la mayoría de los expertos al respecto vivían y trabajaban en Berlín, los encuentros que se celebraban en la Sociedad de Física Alemana celebrados en la capital se convirtieron en el principal foro de discusiones relativas a la radiación del cuerpo negro y el estatus de la ley de Wien. Ese fue de nuevo el tema central, según rezan las actas, de la reunión quincenal de la sociedad que se llevó a cabo el 2 de febrero de 1900. Durante ese encuentro, Lummer y Pringsheim revelaron sus últimos datos, que ponían de manifiesto que las discrepancias sistemáticas existentes entre sus medidas y las predicciones de la ley de Wien en la región infrarroja del espectro no podían ser el resultado de un error experimental.

A este fracaso de la ley de Wien le siguió un considerable revuelo tratando de encontrar un adecuado reemplazo. Pero las alternativas improvisadas resultaron ser poco satisfactorias, lo que alentó la necesidad de proseguir los experimentos en longitudes de onda más largas para establecer inequívocamente la magnitud del fracaso de la ley de Wien. Eso, después de todo, coincidía con los datos disponibles referidos a las longitudes de onda más cortas y otros experimentos, exceptuando los esgrimidos a su favor por Lummer y Pringsheim.

Sin embargo, Planck era muy consciente de que cualquier teoría se encuentra a merced de los datos experimentales duros y creía firmemente que «cualquier conflicto entre observación y teoría solo podía ser corroborado como válido más allá de toda duda cuando, en ello, coinciden varios observadores».[43] Fue así como el desacuerdo entre los experimentalistas le obligó a reconsiderar la solidez de sus ideas. Así fue como, a finales de septiembre de 1900, mientras revisaba sus datos, acabó confirmando el fracaso de la ley de Wien en la región infrarroja lejana.

Fueron Heinrich Rubens, amigo íntimo de Planck, y Ferdinand Kurlbaum quienes acabaron dirimiendo esta cuestión. Mientras trabajaba en la Technische Hochschule de la Berlinerstrasse en la que, a los treinta y cinco años, acababa de verse ascendido a profesor ordinario, Rubens pasaba la mayor parte de su tiempo como trabajador invitado en el cercano PTR. Fue ahí donde, junto a Kurlbaum, construyó un cuerpo negro que permitió llevar a cabo mediciones en las dimensiones inexploradas de la región correspondiente al infrarrojo lejano. Fue durante ese verano cuando corroboraron la ley de Wien entre las longitudes de onda de los 0,03 y 0,06 mm en temperaturas que iban desde los 200 hasta los 1.500 °C. En esas longitudes de onda más largas descubrieron una diferencia tan acusada entre la teoría y la observación experimental que solo podía ser evidencia del fracaso de la ley de Wien.

Rubens y Kurlbaum quisieron presentar sus resultados en un artículo que leerían ante la Sociedad de Física Alemana el siguiente encuentro, que se llevaría a cabo el viernes 5 de octubre. Sin tiempo, no obstante, para escribir el artículo, decidieron esperar hasta la próxima reunión, para la que todavía faltaban quince días. Entretanto, Rubens se enteró de que Planck estaba ansioso por enterarse de sus descubrimientos.

Planck vivió durante casi cincuenta años en una gran mansión con un jardín inmenso entre las elegantes villas de abogados y otros profesores en la zona residencial de Grunewald, ubicada al oeste de Berlín. El domingo 7 de octubre, Rubens y su esposa habían sido invitados a almorzar. No es de extrañar que la conversación entre los dos amigos no tardase en encaminarse hacia el campo de la física y el problema del cuerpo negro. Rubens le explicó que sus últimas medidas no albergaban la menor duda: la ley de Wien no se cumplía en las longitudes de onda más largas ni en las temperaturas más elevadas. Los datos de ese experimento demostraban, según descubrió entonces Planck, que en tales longitudes de onda la intensidad de la radiación del cuerpo negro era proporcional a la temperatura.

Esa misma noche, Planck trató de esbozar la ecuación que pudiese reproducir el espectro de energía de la radiación del cuerpo negro. Ahora contaba, para componer el rompecabezas, con tres piezas fundamentales. En primer lugar, la ley de Wien, que explicaba la intensidad de la radiación en la región de las longitudes de onda más cortas. En segundo lugar, fracasaba en la región del infrarrojo en la que Rubens y Kurlbaum habían descubierto que la intensidad era proporcional a la temperatura. Y, en tercer lugar, la ley de desplazamiento de Wien estaba en lo cierto. Esas eran las tres piezas del rompecabezas con las que contaba Planck para formular su ecuación del cuerpo negro. Esa situación puso a prueba sus años de experiencia difícilmente ganados para manipular los diferentes símbolos matemáticos de las ecuaciones.

Al cabo de unos cuantos intentos infructuosos, y gracias a una adecuada combinación de intuición e inspirada conjetura científica, Planck había descubierto su ecuación. Parecía prometedora. Pero… ¿se trataba de la ecuación tan buscada por Kirchhoff? ¿Era válida para cualquier temperatura en todo el espectro? Planck se apresuró a garabatear una nota para Rubens y salió en medio de la noche para enviársela. Al cabo de un par de días, Rubens llegó a casa de Planck con la respuesta. Había cotejado la ecuación de Planck con los datos y descubierto que cuadraban perfectamente.

El viernes 19 de octubre se celebró la reunión quincenal de la Sociedad de Física Alemana. Rubens y Planck se hallaban sentados entre el público y fue Ferdinand Kurlbaum el encargado de anunciar formalmente que la ley de Wien, válida en las longitudes de onda más cortas, fracasaba en las más largas del infrarrojo. Luego se levantó Planck para hacer un breve «comentario» titulado «Una mejora de la ecuación de Wien del espectro». Comenzó admitiendo haber creído «que la ley de Wien debía ser necesariamente cierta» y que así lo había dicho en un encuentro anterior.[44] Pronto quedó claro que Planck no solo estaba proponiendo «una mejora», un simple ajuste de la ley de Wien, sino una ley suya completamente nueva.

Después de hablar durante menos de diez minutos, Planck escribió en la pizarra su ecuación del espectro del cuerpo negro. Luego se giró y, mirando directamente al rostro de sus conocidos colegas, les dijo que esa ecuación «cuadra, en mi opinión, con los datos publicados hasta el momento».[45] Y cuando volvió a sentarse, recibió los educados gestos de aprobación de sus colegas. El silencio era comprensible. Después de todo, Planck acababa de proponer una ecuación elaborada ad hoc, para dar cuenta de los datos recopilados por la experimentación. No era el primero en esbozar una ecuación que pudiese llenar el vacío dejado al confirmarse el fracaso de la ley de Wien en el caso de las longitudes de onda largas.

Al día siguiente, Rubens visitó a Planck para tranquilizarlo. «Vino para decirme que, después de la reunión, había cotejado los datos de la experimentación con los obtenidos con mi ecuación y descubrió que coincidían perfectamente»,[46] comentó Planck, al respecto. Antes de que hubiera pasado una semana, Rubens y Kurlbaum le comentaron que, después de haber comparado sus medidas con las predicciones de cinco ecuaciones diferentes, habían descubierto que la de Planck era la más exacta de todas. Paschen también confirmó que la ecuación de Planck concordaba perfectamente con los datos de su investigación. A pesar de esta rápida corroboración de los experimentalistas sobre la superioridad de su ecuación, Planck no dejaba, sin embargo, de estar confuso.

Es verdad que contaba con una ecuación, pero ¿qué significaba eso? ¿Cuál era la física en la que se sustentaba? Planck sabía que, a falta de respuesta a esa pregunta, la suya solo sería, en el mejor de los casos, una «mejora» a la ley de Wien y «el mero resultado de una ley descubierta por una intuición afortunada que solo poseía, en consecuencia, un significado estrictamente formal».[47] «Por eso, el mismo día que esbocé esa ley —escribió posteriormente— me empeñé en descubrir también cuál era su verdadero significado físico».[48] Y eso era algo que solo podía descubrir derivando paso a paso su ecuación de los principios de la física. Planck conocía perfectamente su destino, pero ignoraba el camino que debía seguir para llegar hasta él. Y si bien poseía una guía excepcional, que era la ecuación misma, ignoraba el precio que, por tal viaje, debía pagar.

Durante las seis semanas siguientes que, según Planck, fueron «las más agotadoras de mi vida, la niebla se disipó y ante mí se desplegó un paisaje completamente inesperado».[49] El 13 de noviembre escribió a Wien: «Estoy muy satisfecho de mi nueva ecuación. Ahora he esbozado también una teoría que puede sustentarla y que, dentro de cuatro semanas, presentaré en la sede local de la Sociedad de Física [de Berlín]».[50] Planck no dijo nada a Wien sobre esa teoría ni sobre el intenso esfuerzo intelectual que le había llevado hasta ella. Habían sido varias semanas de un trabajo arduo y esforzado por reconciliar su ecuación con las dos grandes teorías de la física del siglo XIX: la termodinámica y el electromagnetismo. Él había fracasado.

«Hay que encontrar, cueste lo que cueste y por más elevado que sea el precio, una interpretación teórica».[51] «Y, para ello, estoy dispuesto a sacrificar cualquiera de mis convicciones anteriores sobre las leyes de la física»,[52] con tal de que «me lleve a un resultado positivo».[53] Este era, para un hombre emocionalmente tan contenido y que solo se expresaba libremente delante de un piano, un lenguaje muy cargado. Y fue entonces cuando, en un esfuerzo supremo por entender su nueva ecuación, Planck descubrió, en pleno «acto de desesperación», los cuantos.[54]

Cuando las paredes de un cuerpo negro están muy calientes emiten radiación infrarroja, visible y ultravioleta en el seno de esa cavidad. En su búsqueda por llegar a una versión teóricamente coherente de su ley, Planck había esbozado un modelo físico que reproducía la distribución espectral de energía de la radiación del cuerpo negro. Ya había estado jugando con una idea y poco importaba que el modelo no llegase a capturar lo que realmente estaba ocurriendo, porque lo que Planck necesitaba era un modo de llegar a la combinación completa de frecuencias, y en consecuencia de longitudes de onda, de las radiaciones presentes en el interior del recipiente. Y para esbozar el modelo más sencillo posible se apoyaba en el supuesto de que esa distribución es independiente del material del que está construido el cuerpo negro y que solo depende de su temperatura.

«A pesar del gran éxito del que, hasta entonces, había disfrutado —escribió Planck en 1882—, la teoría atómica acabará abandonada en favor de la creencia en una materia continua».[55] Dieciocho años más tarde, y a falta de demostración palpable de su existencia, Planck seguía sin creer en los átomos. Sabía, por la teoría del electromagnetismo, que una carga eléctrica oscilando a determinada frecuencia solo emite y absorbe radiación de esa frecuencia. Por eso tomó la decisión de representar las paredes del cuerpo negro como un enorme conjunto de osciladores. Aunque cada oscilador solo emite a una determinada frecuencia, grupalmente lo hacen en todo el amplio espectro de frecuencias que se hallan en el interior del cuerpo negro.

La frecuencia de un péndulo consiste en el número de oscilaciones por segundo, siendo la oscilación el movimiento de ida y vuelta a su punto de partida. Un peso colgado de un muelle es otra forma de oscilador. Su frecuencia, en este caso, consiste en el número de veces por segundo que el peso, al que se ha alejado de su posición de equilibrio y luego se ha soltado, sube y baja. En la época en la que Planck utilizaba osciladores, como él los llamaba, la física que se refería a ese tipo de oscilaciones se conocía, desde hacía mucho tiempo, con el nombre de «movimiento armónico simple».

Planck contempló su colección de osciladores como muelles sin masa sometidos a diferentes tensiones para reproducir las diferentes frecuencias, cada una de ellas asociada a una determinada carga eléctrica. Calentar las paredes del cuerpo negro proporcionaba la energía necesaria para poner en marcha los osciladores. Que un oscilador estuviese activo o no dependía exclusivamente de la temperatura. Si lo estaba, emitiría radiación al recipiente y absorbería radiación de él. Y, con el tiempo, si la temperatura se mantenía constante, esa dinámica radiante provocaría un intercambio de energía entre los osciladores hasta que la radiación del recipiente alcanzase un estado de equilibrio térmico y se estabilizara.

Puesto que la distribución espectral de la energía de la radiación del cuerpo negro representa el modo en que la energía total se distribuye entre las diferentes frecuencias, Planck suponía que el número de osciladores asociados a cada frecuencia era el que determinaba la distribución. Después de formular su modelo hipotético diseñó una forma de distribuir la energía total disponible entre los distintos osciladores. Durante las semanas siguientes, Planck descubrió que no podía derivar su ecuación utilizando la física que, desde hacía tanto tiempo, había asumido como dogma. Entonces fue cuando, desesperado, dirigió su atención hacia las ideas del físico austriaco Ludwig Boltzmann, que fue el primer defensor del átomo. Durante el camino que condujo a su ecuación del cuerpo negro, Planck acabó aceptando, después de años de «hostilidad hacia la teoría atómica»,[56] que los átomos eran algo más que una ficción conveniente.

Hijo de un recaudador de impuestos, Ludwig Boltzmann era pequeño y corpulento y con una barba impresionante característica de finales del siglo XIX. Nacido en Viena el 20 de febrero de 1844 aprendió, durante un tiempo, piano con el compositor Anton Bruckner, pero, mejor físico que pianista, acabó doctorándose, en 1866, en la Universidad de Viena. No tardó en ser conocido por su contribución fundamental a la teoría cinética de los gases, llamada así debido a que sus defensores creían que los gases estaban compuestos por átomos o moléculas que se hallaban en estado de continuo movimiento. Posteriormente, en 1884, Boltzmann proporcionó una justificación teórica al descubrimiento de su mentor Josef Stefan de que la energía total radiada por un cuerpo negro es proporcional a T⁴, es decir, la temperatura elevada a la cuarta potencia, o T × T × T × T. Eso significaba que doblar la temperatura de un cuerpo negro suponía multiplicar por 16 la energía irradiada.

Boltzmann fue un profesor y teórico muy famoso y, a pesar de ser muy corto de vista, un experimentalista muy capaz. Cada vez que quedaba libre una plaza en una de las principales universidades europeas, su nombre se barajaba entre los posibles candidatos. Solo después de rechazar la vacante que, en la Universidad de Berlín, había dejado la muerte de Gustav Kirchhoff, le ofrecieron a Planck un puesto de categoría inferior. En 1900, un Boltzmann muy viajado, y universalmente conocido como uno de los grandes teóricos, se hallaba en la Universidad de Leipzig. Pero eran muchos los que, como Planck, consideraban inaceptable su visión de la termodinámica.

Boltzmann creía que las propiedades de los gases, como la presión, eran la manifestación macroscópica de un fenómeno microscópico regulado por las leyes de la mecánica y de la probabilidad. La física clásica de Newton gobernaba, para quienes creían en los átomos, el movimiento de las moléculas del gas, pero resultaba prácticamente imposible utilizar las leyes newtonianas del movimiento para determinar el movimiento de cada una de las incontables moléculas de un gas. Fue el físico escocés de veintiocho años James Clerk Maxwell quien, en 1860, determinó la velocidad de las moléculas de un gas sin necesidad de medirlas a todas ellas. Utilizando la estadística y la teoría de probabilidades, Maxwell esbozó la distribución más probable de velocidades mientras las moléculas del gas colisionaban entre sí y con las paredes del recipiente que las contenía. El uso de la estadística y de la probabilidad resultó tan atrevido como innovador y permitió a Maxwell explicar muchas de las propiedades observadas de los gases. Trece años más joven, Boltzmann apuntaló, siguiendo los pasos de Maxwell, la teoría cinética de los gases. Durante la década de 1870 dio un paso más y esbozó una interpretación estadística de la segunda ley de la termodinámica vinculando la entropía al desorden. La entropía, según lo que acabaría siendo conocido como principio de Boltzmann, es una medida de la probabilidad de encontrar un sistema en un determinado estado. Un mazo de cartas bien barajadas, por ejemplo, es un sistema desordenado de alta entropía. Pero una baraja nueva en la que las cartas se hallan divididas en palos y ordenadas partiendo del as es un sistema muy ordenado y de baja entropía. Para Boltzman, la segunda ley de la termodinámica tiene que ver con la evolución de un sistema de baja probabilidad y también, en consecuencia, de baja entropía, a otro de alta probabilidad y alta entropía. Pero la segunda ley, no obstante, no es una ley absoluta, porque siempre es posible que un sistema pase de un estado desordenado a otro más ordenado, del mismo modo que un mazo de cartas barajado también puede, si vuelve a barajarse, acabar ordenado. Pero la probabilidad, no obstante, de que tal cosa ocurra es tan astronómicamente baja que su ocurrencia requeriría un tiempo muchas veces superior a la edad del universo.

Planck creía que la segunda ley de la termodinámica era absoluta, es decir, que la entropía siempre aumenta. Pero, según la interpretación estadística de Boltzmann, la entropía casi siempre aumenta. Y ambas formulaciones, en lo que respecta a Planck, solo se diferencian en una palabra. Apoyarse en Boltzmann suponía, para él, renunciar a lo que más le interesaba como físico, pero si quería establecer adecuadamente su ecuación del cuerpo negro, no le quedaba otra alternativa. «No era mucha la atención que, hasta entonces, había prestado a la relación existente entre entropía y probabilidad, en la que yo tenía poco interés, puesto que cada probabilidad permite excepciones y, en esa época, creía que la segunda ley de la termodinámica era válida en términos absolutos, sin excepción alguna».[57]

El estado más probable de un sistema es un estado de máxima entropía, es decir, el estado de máximo desorden. Y ese estado es, para el caso del cuerpo negro, el equilibrio térmico, un estado semejante al estado al que Planck se enfrentaba en su intento de tratar de encontrar la distribución de energía más probable entre sus osciladores. Si contamos con cien osciladores y diez de ellos tienen una frecuencia v, son ellos los que determinan la intensidad de la radiación emitida a esa frecuencia. Mientras que la frecuencia de cualquiera de los osciladores eléctricos de Planck es fija, la cantidad de energía que emiten y absorben depende exclusivamente de su amplitud, es decir, de la magnitud de su oscilación. Un péndulo que completa cinco oscilaciones en cinco segundos tiene una frecuencia de una oscilación por segundo. Si oscila, sin embargo, en un arco más amplio, posee más energía que si lo hace en uno más pequeño. La frecuencia es la misma debido a que la longitud del péndulo la establece, pero la energía extra le permite un desplazamiento más rápido a través del arco. De ese modo, el péndulo lleva a cabo las mismas oscilaciones en el mismo tiempo que un péndulo idéntico oscilando a través de un arco más estrecho.

Aplicando las técnicas de Boltzmann, Planck descubrió que solo podía derivar su ecuación de la distribución de la radiación del cuerpo negro si los osciladores absorbían y emitían paquetes de energía proporcionales a su frecuencia de oscilación. El aspecto «más esencial de todo el cálculo», dijo Planck, consistía en considerar que la energía de cada frecuencia estaba compuesta por un número de «elementos de energía» iguales e indivisibles a los que posteriormente denominó cuantos.[58]

Guiado por su ecuación, Planck se había visto obligado a dividir la energía (E) en paquetes de tamaño hv, en donde v es la frecuencia del oscilador y h es una constante. En este sentido, la ecuación E = hv acabaría convirtiéndose en una de las más famosas de toda la historia de la ciencia. Si, por ejemplo, la frecuencia es 20 y h 2, cada cuanto de energía tiene una magnitud de 20 × 2 = 40. Y, si la energía total disponible en esta frecuencia es de 3.600, habrá 3.600 / 40 = 90 cuantos para ser distribuidos entre los diez osciladores de esa frecuencia. Planck aprendió de Boltzmann a determinar la distribución más probable de esos cuantos entre los osciladores.

Fue entonces cuando descubrió que sus osciladores solo podían tener energías 0 hv, 2 hv, 3 hv, 4 hv… hasta n hv, en donde n es un número entero. Esto correspondía a cualquier absorción o emisión de un número entero de «elementos de energía» o «cuantos» de tamaño hv. Era como un cajero del banco que solo pudiese recibir y entregar dinero en cantidades de 1 euro, 2 euros, 5 euros, 10 euros, 20 euros y 50 euros. Y puesto que los osciladores de Planck no podían tener otra energía, la amplitud de sus oscilaciones se hallaba limitada. Las extrañas implicaciones de esto quedan al descubierto si aumentamos de escala hasta el mundo cotidiano de un muelle que lleva atado un peso.

Si el peso oscila con una amplitud de 1 cm, entonces tiene una energía de 1 (independientemente de la unidad de medida de la energía que tengamos en cuenta). Si el peso es de 2 cm y puede oscilar, su frecuencia sigue siendo la misma que antes, pero su energía, que es proporcional al cuadrado de la amplitud, pasa a ser de 4. Si la restricción de los osciladores de Planck se aplica al peso, entre 1 y 2 cm solo puede oscilar con una amplitud de 1,42 y 1,73 cm, porque poseen energías de 2 y de 3.[59] No puede, por ejemplo, oscilar con una amplitud de 1,5 cm, porque la energía asociada sería de 2,25. Los cuantos de energía son indivisibles. Un oscilador no puede recibir una fracción de cuanto de energía, sino que debe recibir, en términos que contradecían la física de la época, todo o nada. La física clásica no establecía restricciones sobre el tamaño de las oscilaciones ni, en consecuencia, sobre la cantidad de energía que un oscilador podía emitir o absorber en una simple transacción, y podía asumir cualquier magnitud.

Desesperado, Planck había realizado un descubrimiento sorprendente e inesperado cuyo significado, sin embargo, no alcanzaba a entender. No era posible que sus osciladores absorbieran o emitiesen energía continuamente como el agua que sale de un grifo. Solo podían, por el contrario, ganar o perder energía de forma discontinua, en unidades pequeñas e indivisibles de E = hv, en donde v es la frecuencia a la que el oscilador vibra, lo que se corresponde exactamente con la frecuencia de la radiación que puede absorber o emitir.

La razón por la que los osciladores de gran escala no se comportan como los de tamaño atómico de Planck es porque h es igual a 0,000000000000000000000000006626 erg segundos, es decir, 6,626 dividido por mil cuatrillones. No podía haber, según la ecuación de Planck, valor más pequeño que h en el aumento o disminución de la energía, pero el tamaño infinitesimal de h provocaba efectos cuánticos invisibles en el mundo de lo cotidiano que afectaba a péndulos, columpios y pesos vibratorios.

Los osciladores de Planck le obligaron a dividir la radiación de energía de un modo que pudiese proporcionarnos los chunks correctos de hv. Él no creía que la energía de la radiación se hallase realmente dividida en cuantos, sino tan solo que ese era el modo en que sus osciladores podían recibir y emitir energía. El problema, para Planck, fue que el procedimiento utilizado por Boltzmann para dividir energía requería, en última instancia, que los fragmentos fuesen tan pequeños que su magnitud matemática fuese 0 y se desvaneciese, lo que permitiría restaurar la totalidad. Pero operar con tales magnitudes requería una técnica matemática sumamente precisa. Por desgracia para Planck, si él hacía lo mismo, su ecuación también acababa desvaneciéndose. Se hallaba atrapado en los cuantos, pero eso tampoco le preocupaba. Tenía su ecuación… el resto vendría después.

«¡Caballeros!», dijo Planck, a las cinco en punto de la tarde del viernes 14 de diciembre de 1900, a los miembros de la Sociedad de Física Alemana, que estaban sentados en la sala de actos del Instituto de Física de la Universidad de Berlín. Frente a él se hallaban, cuando empezó su conferencia titulada «Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum», es decir, «Sobre la teoría de la ley de distribución de la energía del espectro normal», Rubens, Lummer y Pringsheim. «Hace varias semanas —prosiguió— tuve el privilegio de llamar su atención sobre una nueva ecuación que parecía, en mi opinión, adaptarse a la ley de distribución de la energía radiante de todas las regiones del espectro»,[60] y luego esbozó la física en la que parecía asentarse su nueva ecuación.

Al finalizar el encuentro, todos sus colegas le felicitaron. Del mismo modo que Planck consideraba la introducción de los cuantos, es decir, de los paquetes de energía, como un «supuesto puramente formal» en el que «realmente no he pensado mucho», lo mismo pensó ese día todo el auditorio. Pero lo importante era el hecho de que Planck había proporcionado una justificación física para la ecuación presentada el mes de octubre. A decir verdad, su idea de dividir la energía en cuantos para los osciladores resultaba bastante extraña, pero se vería fortalecida con el paso del tiempo. Todos creían que no era más que el habitual recurso teórico, un nuevo malabarismo matemático que no tenía un verdadero significado físico y solo servía como paso intermedio provisional en el camino que conducía a la respuesta correcta. Lo que siguió impresionando a sus colegas fue la exactitud de su nueva ley de la radiación. Nadie, ni siquiera el mismo Planck, pareció prestar mucha atención a los cuantos de energía.

A primera hora de la mañana, Planck salió de su casa con Erwin, su hijo de siete años. Padre e hijo se encaminaron hacia el cercano bosque de Grunewald, uno de los pasatiempos favoritos de Planck, que disfrutaba paseando con su hijo. Erwin recordó posteriormente que, mientras caminaban, su padre le dijo: «¿Sabes que hoy he hecho un descubrimiento tan importante como el de Newton?».[61] Cuando, muchos años más tarde, Erwin contaba esta anécdota, no podía recordar exactamente el momento exacto de ese paseo. Es muy probable que fuese poco antes de la conferencia de diciembre. ¿Es posible que, después de todo, Planck se diera cuenta de las implicaciones de los cuantos? ¿O lo que estaba tratando de transmitir a su joven hijo no era más que la importancia de su nueva ley de la radiación? Yo no creo que fuese nada de ello, sino tan solo una expresión de alegría por haber descubierto no una, sino dos, constantes fundamentales: k (a la que denominó constante de Boltzmann), y h (a la que los físicos acabarían llamando constante de Planck). Se trataba de dos constantes fijas y eternas, de dos absolutos, por tanto, de la naturaleza.[62]

Planck reconoció su deuda con Boltzmann. Después de bautizar a k —la constante que había descubierto durante la investigación que condujo a la ecuación del cuerpo negro— con el nombre del austriaco, Planck también propuso, en 1905 y 1906, a Boltzmann para el Premio Nobel. Pero entonces era ya muy tarde, porque su salud era muy frágil: padecía asma, migrañas, problemas de visión y angina de pecho. Aunque ninguna de esas dolencias resultaba tan debilitadora como los severos ataques maniacodepresivos que padecía. En 1906, mientras se hallaba de vacaciones en Duino, cerca de Trieste, Boltzmann se ahorcó. Tenía setenta y dos años, y a pesar de que algunos de sus amigos temían lo peor, las noticias de su muerte provocaron una auténtica conmoción. Boltzmann llevaba tiempo sintiéndose cada vez más aislado y menospreciado. Y aunque eso fuese falso, porque era uno de los físicos más respetados y admirados de su tiempo, las continuas disputas sobre la existencia de los átomos le habían tornado vulnerable y creía que la obra de su vida estaba siendo socavada. Boltzmann regresó a la Universidad de Viena por tercera y última vez en 1902. A su muerte, le pidieron a Planck que le sucediera. Describiendo la obra de Boltzmann como «uno de los triunfos más hermosos de la investigación teórica», Planck se sintió tentado por la oferta vienesa, pero acabó declinando la invitación.[63]

La constante h fue el eje que sirvió para cortar la energía en cuantos y Planck había sido el primero en darse cuenta de ello. Pero lo que había cuantizado fue el modo en que sus osciladores imaginarios podían recibir y emitir energía. Planck no cuantizó ni cortó la energía en paquetes de magnitud hv. Una cosa es descubrir algo y otra muy diferente entender, especialmente en una época de transición como la que le tocó vivir, las implicaciones de ese descubrimiento. Gran parte de lo que hizo Planck no solo estaba implícito, sino que ni siquiera resultaba claro para él. Y nunca cuantizó explícitamente, como debería haber hecho, las oscilaciones individuales, sino tan solo grupos de ellas.

Parte del problema era que Planck pensaba que al final acabaría desembarazándose de los cuantos. Solo mucho más tarde se dio cuenta de las consecuencias a largo plazo de su descubrimiento. Su profundo instinto conservador le llevó a pasarse casi una década tratando de incorporar los cuantos al marco de referencia de la física existente. Y era muy consciente de que algunos de sus colegas consideraban que eso se asemejaba bastante a una tragedia. «Pero yo lo siento de manera diferente —escribió Planck—. Ahora sé que el cuanto elemental de acción [h] desempeña, en el ámbito de la física, un papel mucho más importante que lo que originalmente estaba dispuesto a admitir».[64]

Durante los años que siguieron a la muerte de Planck, que sucedió en 1947, a los ochenta y nueve años, su antiguo alumno y colega James Franck recordó su desesperada lucha «por evitar la teoría de los cuantos y sus esfuerzos, al advertir lo infructuoso de tal intento, de minimizarla tanto como pudiera».[65] Para Franck, Planck «era un revolucionario a su pesar», que «finalmente llegó a la conclusión de que “No lo he conseguido. Tendré que acostumbrarme a vivir con la teoría de los cuantos. Y creedme cuando os digo que acabará expandiéndose”».[66] Quizá este sea el mejor de los epitafios que podría dedicársele.

Y tenía toda la razón, porque los físicos tuvieron que acostumbrarse a «convivir» con los cuantos. Y el primero en hacerlo no fue ninguno de los distinguidos colegas de Planck, sino un joven que vivía en Berna (Suiza). Él fue el primero en darse cuenta de la naturaleza radical de los cuantos. Y lo más curioso es que no se trataba de un físico profesional, sino de un funcionario que, gracias a Planck, se enteró de que la energía misma está cuantizada. Su nombre era Albert Einstein.