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Edición en formato digital: septiembre de 2020 © 2020, Eduardo Sáenz de Cabezón, por los textos© 2020, Jordi Barenys Haya, por las ilustraciones de interior© 2020, Penguin Random House Grupo Editorial, S. A. U.Travessera de Gràcia, 47-49. 08021 BarcelonaCréditos de las imágenes: p. 353, Karl Oppolzer, bajo licencia Creative Commons BY-SA 3.0; pp. 359 y 367, Canaan, bajo licencia Creative Commons BY-SA 4.0; p. 373, Bev Sykes, bajo licencia Creative Commons BY-SA 2.0.Penguin Random House Grupo Editorial apoya la protección del copyright.Elcopyrightestimula la creatividad, deﬁende la diversidad en el ámbito de las ideas y el conocimiento, promueve la libre expresión y favorece una cultura viva. Gracias por comprar una edición autorizada de este libro y por respetar las leyes del copyrightal no reproducir ni distribuir ninguna parte de esta obra por ningún medio sin permiso. Al hacerlo está respaldando a los autores y permitiendo que PRHGE continúe publicando libros para todos los lectores. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, http://www.cedro.org) si necesita reproducir algún fragmento de esta obra.ISBN: 978-84-17809-09-6Compuesto en M. I. Maquetación, S. L.Composición digital: Newcomlab S.L.L.www.megustaleer.com

11¡Temblad! ¡Llega el ¡Temblad! ¡Llega el ApocalipsisApocalipsis!!Si alguna vez me hubieran dicho que iba a titular así laintroducción de un libro de matemáticas, no habríadado crédito, pero en cualquier casohabría vendido sin dudarlo mi almaal diablo para conseguirlo. Y, mirapor dónde, aquí estamos en ello ycon mialma todavía asalvo delasgarras de Satanás.El Apocalipsistiene que ser una cosa de lo más chula,aunque seguro que sale carísimo: el fin del mundo, dra-gones, fuego, ángeles y bestias peleando en el cielo, muer-te y destrucción, nubes negras, esqueletos montados encaballos que surcan el firmamento, estrellas que caen yríos de lava... Como aficionado al death metal,no se meocurre nada mejor para una tarde de palomitas. La verdades que mola más que el mundo se acabe de esta maneraque recalentado por el cambio climático, convertido enun desierto sin osos polares o fulminado por un meteori-to sin que el héroe yanqui de turno pueda hacer nada porevitarlo.–2 –

El último libro dela Biblia cristiana, elApocalipsis,se llama también Libro de las Revelaciones porque eso es precisamente lo que significa en griego Ἀποκάλυψις: revelar, quitar el velo, que la realidad muestre su ver-dadera naturaleza. Por eso me pareció buena idea titulareste libro Apocalipsis Matemático. Porque, por una par-te, hay mucha gente a la que le vienen a la mente ríos delava, jinetes esqueléticos y el fin del mundo cada vez querecuerda sus clases de matemáticas o simplemente cuan-do le nombras una raíz cuadrada, una integral doble oalguna de esas cosas que identifica con instrumentos de tortura medievales. Pero, por otro lado, las matemáticasson precisamente la mejor forma que tenemos los huma-nos de revelar la naturaleza, de quitarle el velo al miste-rioso azar que parece gobernarlo todo, a esaaparenteimprevisibilidad de los acontecimientos naturales. Cuan-do las matemáticas estuvieron listas, la ciencia —todaslas ciencias— produjo los avances que nos han hechollegaradondeestamosyquesiguensorprendiéndonoscadadíaaldescubrirnuevasfacetasdeestamaravillaquees el mundo (y que sería una pena que quedase destruidoentremaresdefuegoyácidoporaquello delApocalipsis).En este libro vamos a hablar de muchas cosas: demovidas matemáticas que no tienen (en principio) nada que ver con nada pero que molan porque sí; sobre laspropias matemáticas y su naturaleza (de forma implíci-ta en todos los capítulos, de forma explícita en alguno–3 –

de ellos); y también de las aplicaciones de las matemáti-cas en las ciencias y en la ordenación de nuestra vida.No hay que obsesionarse con nada, que acaba uno fatal de la cabeza, pero si eres de esa gente que piensa queobsesionarse tiene su punto, las matemáticas son unabuena alternativa: entiendes cuestiones que a los demás les parecen secretos arcanos, puedes hablar un lenguaje ininteligible, no te las acabas nunca y encima te pueden producir frustración y placer a partes iguales. Yo estoy un pelín obsesionado con las matemáticas, aunque se mepasa enseguida, y por eso tengo un canal de YouTube enel que hablo sobre mates. Se llama Derivandoy he trata-do decenas de temas matemáticos en los vídeos que subo.Esos temas son la base de este libro: aquellas cuestiones que más han interesado en Derivando, las que la gente me ha pedido que incluya y algunas que deberían estar en el canal pero no están (todavía). Todos conformaneste Apocalipsis que trata de mostrar el espectáculo dela revelación matemática de la naturaleza. Ponte las ga-fas de dejarte sorprender, pilla algo de comer o de beber,dale al botón de Apocalypse Nowy adelante con el libro.Pero, antes, unas recomendaciones de uso:Hay muchas formas de utilizar este libro. Una es com-prarte un montón de ejemplares, cien o por ahí, armaruna pila, escribir en torno a ella un pentagrama consímbolos cabalísticos, prenderle fuego y arder invocando–5 –

al demonio para que te revele los secretos de las mate-máticas. No te lo recomiendo: tiene que doler un mon-tón, te vas a quedar hecho polvo y el demonio no tiene pinta de saber demasiadas matemáticas, por mucho quefirme con «666». Pero bueno, si aun así decides hacerlo,sube fotos a Instagram y etiquétame para verlas.Otra forma es leerlo como un libro normal, empezan-do por el primer capítulo y siguiendo adelante con todos,en un orden secuencial perfecto. Yo lo haría así, porquesoy un soso y ando un poco obsesiona-do con el orden y con hacer las cosascomo es debido y todas esas limitacionesque mi carácter me impone. Puedes ha-cerlo así perfectamente, todo tendrásentido y vivirás una aventura matemá-tica sin riesgos ni alteraciones graves. Tucorazón te lo agradecerá.O puedes lanzarte a lo loco.Empezar por donde quieras,seguir por donde te dé la gana, dejar capítulos sin termi-nar y retomarlos después de haber leído otros. Es unlibro con muchos niveles y con muchas caras. A lolargo de los capítulos te vas a encontrar advertenciassobre la dificultad de algunas secciones, para que no te adentres en ellas sin casco. ¡Ah! También hay algunosretos y ejercicios… Las dificultades están indicadas con calaveras: una calavera significa que (en principio) la cosa–7 –

es sencilla; tres calaveras significa que hay gente que ha muerto intentándolo sin casco. En todo caso, podrásencontrar pistas y soluciones al final, para que no tedesesperes. (A esto me ha obligado la editorial; agradé-ceselo a ellos, yo soy más partidario de provocar deses-peración y dolor.)Esteesunlibro conunmontóndeestructurasdistin-tas y en el que las piezas han sido ensambladas de unmodo particular, sí, pero podrían haber estado dispues-tas de otra forma. Si decides leer el libro a lo loco, te vasa divertir, pero también puede pasar que de repente no entiendas algo y tengas que buscar apoyos en otras partesdel libro, porque en algún lugar está la pieza que te faltapara comprender. ¿Y qué? Esto no es una escape room de esas: puedes salir cuando quieras, volver a entrar yrepetir párrafo las veces que te dé la gana. Siéntete libre.A mí me agobia leer los libros en desorden, pero ¿quiéndicequeelúnicoordenposibleeselqueyopropongo?No saldrá esa afirmación de mi boca, desde luego.Unas últimas palabras sobre la numeración de los ca-pítulos y las páginas. El orden habitual de 1, 2, 3, 4, 5…es tan aburrido que corres peligro de quedarte dormidoen el trenmientrasvas leyendoellibro, asíque he deci-dido usar una numeración, digamos, más «matemática».Estoy absolutamente seguro de que vas a saber de qué vala cosa. Si no, siempre puedes buscar esa secuencia denumerillos en internet y aprender algo sobre ellos...–11 –

En este libro vas a encontrar matemáticas. Y las ma-temáticas son muy variadas. Hallarás cosas sencillas y otras complicadas. Vas a poder darte cuenta de que son un mundo inmenso lleno de cuestiones difíciles (proba-blemente mucho más de lo que puedas imaginar) peroque no voy a tratar de lleno, tan solo nombraré algunas y podrás investigar por tu cuenta si tienes curiosidad (te lo recomiendo). Encontrarás diversión y curiosidades,así como la encarnizada lucha de los matemáticos porhallar sentido a todo lo que hacen (casi siempre lo con-siguen). Verás aplicaciones, matemáticas cotidianas ymatemáticas que jamás podrás observar de cerca a noser que te dediques profesionalmente a ellas. Habrá mu-chos términos, problemas y conceptos que quizá te lla-men la atención y dirijan tu curiosidad hacia otras fuen-tes: ¡síguela! ¡Adéntrate en el (casi) infinito mundo de las matemáticas!Vuelve al libro cuando quieras, estápreparado para darte nuevas sorpresas cada vez que re-greses a él.Antes de comenzar, quiero proponerte un juego. A con-tinuación verás dos cuadros. Escribeen el primero tupropia definicióndematemáticas, la que tienes ahoraantes de leer el libro. Y cuando acabes, o cuando quieras,vuelve a esta página y rellena el segundo cuadro con la definición de matemáticas que tengas después de pasar por este Apocalipsis Matemáticoy cualesquiera lugares a los que la lectura de este volumen te haya llevado.– 13 –

Después, compara ambas definiciones y comprueba quenunca tendremos una idea precisa y completa sobre loque son las matemáticas, que siempre nos queda algopor abarcar, y esa es la maravilla de esta ciencia.Pero, sobre todo, permítete siempre DISFRUTARde las matemáticas.Tu definición de matemáticas ANTESde leer este libro:Tu definición de matemáticas DESPUÉSde leer estelibro:–17 –

11El ejército de las tinieblasEl ejército de las tinieblasEn el Apocalipsis aparecerá el ejército de los justos quese enfrentará en el Armagedón a las huestes de Satanásformadas por los muertosnoarrepentidos,la malagente zombi. Una batalla que dejará a la altura del betún a cual-quiera de las pelis de superhéroes, guerras interestelaresomadres dedragones que ha-yasvistojamás. Lasbatallascon megaejército son de lasmejores cosas de cualquierapocalipsisdecente.Losabetodo director de cine quequiera abarrotar de palomitaslas salas de cine de mediomundo. Pues bien, ahora ima-gínate todos los ejércitos de El señor de los anillosjun-tos, todos los magos de la batalla final de la saga HarryPotter,la pasada de superhéroes y villanos de Endgame y todas, toditas, todas las naves de todas las batallas deStar Wars. Pues todo eso junto no es nada —¡nada!— comparado con la batalla final del Apocalipsis Mate-–19 –

mático. Porque en esa contienda están todos los núme-ros, y los números son muchos, pero muchos. Infinitos,que es más que muchos. Si algo va a haber en el Apoca-lipsis Matemático son números. Toneladas de números.Casitodoelmundotieneclaroquelasmatemáticasvande números. Y es bastante cierto, a muchos niveles además,pero quizá no como se lo imagina la gente. Muchas perso-nas cuando piensan en números lo hacen en cuentas largasodifíciles, con montones de decimales, numerajos tre-mendos puestos en columnas o filas que rellenan folios yfolios de ejercicios, en las que además no se puede usarcalculadora. Cuando le dices a alguien que eres matemá-tico, si no sale corriendo, llorando y agitando los brazos,normalmente se piensa que lo mejor que sabes hacer en lavida son multiplicaciones o divisiones gigantes, la cuentacuando pagas en un restaurante o raíces cuadradas conlápiz y papel (¿de verdad todavía hay algún ser que seacuerde de cómo hacer una raíz cuadrada «a mano»?).Muchas personas nos vencomo calculadoras humanas,infalibles y rapidísimas. Y no.No somos particularmente bue-nos haciendo cuentas o cálculomental, no más que cualquiera,al menos yo no. Es cierto que,como muchas veces tenemoscontacto con números, hacemos–23 –

cuentas de vez en cuando, pero ni de lejos es a lo quenos dedicamos. Eso sí, nos encantan los números, losdisfrutamos, jugamos con ellos, los conocemos, nosparecen bonitos, divertidos, nos emocionan, nos inte-resan, nos apasionan.Existen muchos tipos de números; de hecho, es difí-cil definir númeroporque hay varias cosas diferentes a las que llamamos «números». Pero no te preocupes, no voy a entrar en disquisiciones filosóficas sobre qué es unnúmero; no tenemos tiempo, el Armagedón se acerca y nuestro mundo se acaba. En fin, vamos con ello, a dis-frutar con números especiales, por el placer de jugar. Porcierto, los números que usaremos son naturales (de los de contar, los de toda la vida, y encima positivos) y enbase 10 (si no sabes lo que significa «en base 10», no te preocupes:puedesconsultarel recuadroquetienesacontinuación).BASES NUMÉRICAS: Nosotros usamos números en base 10.¿Eso quésignifica? Pues que tenemos diezsímbolos paraconstruir nuestros números (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9) y que, al escribir un número, las distintasposicionesexpresan el númerode veces queesta-mosañadiendolasdistintaspotenciasdediez. – 29 –

Vamos con un ejemplito. Si tengo el número 2034,¿qué cantidad estoy expresando en base 10? Puesmira, cuento las posiciones de derecha a izquier-da: la primera es la posición cero, a su izquierdala uno, etc., y cada una expresa cuántas vecessumo la correspondiente potencia de diez. La po-sición cero indica cuántas veces sumo 100que es1. Lo sumo 4 veces. OK. La siguiente posición,la uno, me indica cuántas veces sumo 101, o sea,10. Lo sumo 3 veces. La posición dos, que en estecaso tiene un 0, indica que sumo 0 veces la can-tidad 102, es decir, 100. Y, por último, la posición3 me indica que en este caso estoy añadiendo dosveces el 1000, que es 103. Así que en base 10el número 2034 expresa la cantidad dos mil treintay cuatro.Si donde hemos usado 10usamos ahora 5, puespasaremos de contar en base 10a hacerlo en base5, y podemos hacerlo con cualquier base. Ahoratenemos cincosímbolos: 0, 1, 2, 3 y 4. La cifrade posición cero indica las veces que añadimos50, que es 1. La de posición 1 indica las veces queañadimos 51, que es 5. La de la posición dos in-dica las veces que añadimos 52, o sea 25, y final-mente la cifra en posición tres indica las vecesqueañadimos125,osea53.Yentotalnossale(haz la suma sin calculadora) que el número 2034– 31 –

en base 5 expresa la cantidad doscientos sesentay nueve.Puedes intentarlo en otras bases. Como ves,tendrán que ser bases mayores o iguales que 5, yaque cada base comienza sus símbolos con el 0, 1, etc. La base más pequeña es la base 2, llamada«binaria», es decir, que solo usa dos símbolos, el 1yel 0.Esta basees muyconocidaporque laemplean los ordenadores y porque nos permitedecir tonterías como que solo hay 10 tipos depersonas, las que saben binario y las que no. Y deestas tontadas nos reímos entre nosotros los frikis.Así nos va.Los números primosA muchos matemáticos se les pone la cara tontita cuan-do les hablas de números primos. Les encantan: que siel año nuevo es primo o no, que si qué guay que tienes un número primo de años, ¡vives en un portal que es un número primo! Me parece una horterada ser un fanboy ofangirlde los números primos, pero, vaya, cada cualtiene sus gustos y además a mí me encantan los númerosprimos. Pero ¿qué tienen de especial? ¿A qué viene tan-ta historia con los números primos?–37 –

Como ya sabrás, tiene que ver con los divisores deun número. Existe una cosa llamada «teorema funda-mental de la aritmética» que dice que todo número na-tural se puede descomponer de forma única como pro-ducto de números primos. Los números primos pueden estar repetidos y lo de «de forma única» quiere decir«salvo el orden», claro. De esta manera, el 12 es 2 · 2 · 3,el 767 es 13 · 59 y así todos. Por eso los primos son tan importantes, porque son las piezas de las que están he-chos (multiplicativamente) todos los números, y sabermás sobre los números primos significa saber más sobretodos los números.Esos factores primos se llaman también «divisoresprimosdelnúmero».Cualquiernúmeropuedetenerade-más otros divisores no primos. Por ejemplo, los divisoresprimos del 12 son 2 y 3, pero el conjunto de todos losdivisores del 12 es {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Es decir, el 12 tiene seis divisores en total. Otra cosa: los «divisores propios»de un número son todos sus divisores (primos o no)menos él mismo. O sea, los divisores propios del 12 son 1, 2, 3, 4 y 6. Por cierto, ¡no he dicho aún qué es un número primo!Un número primo es el que tiene exactamentedos divi-sores. Por ejemplo, el 11, que solo tiene como divisores al 1 y al 11. Date cuenta de que esta definición dejafuera del conjunto de números primos al 1: el número 1 no es primo. El 1 solo tiene un divisor, él mismo, así que –41 –

noesprimo.Hayrazonesprofundasparaqueel1nosea primo, pero una bastante sensata es que estropearía un poco el teorema fundamental de la aritmética y aque-llos resultados que dependen de él, porque habría que es-tar todo el tiempo hablando de «los factores primos me-nos el 1» y eso es engorroso e incómodo.Números perfectos y números amigosEl tema de los divisores de un número da para mucho.Cuando un número es menor que la suma de sus diviso-res propios se dice que es un «número abundante».Cuando es mayor, se dice que es un «número deficiente».Por ejemplo, el 12, que hemos visto antes, es un númeroabundante, porque sus divisores propios son 1, 2, 3, 4y 6, que suman 16 y eso es mayor que 12. Sin embargo,los números primos son todos deficientes, porque suúnicodivisorpropioesel1,pobrecitos.Losprimerosnúmerosabundantesson 12, 18, 20, 24y30,todospares.Te propongo un reto: ¿puedes encontrar algúnnúmero abundante impar?En los números abundantes, a la diferencia entre lasuma de sus divisores propios y el número en cuestión se–43 –

la llama «abundancia del número»; por ejemplo, la abun-dancia del 12 es 16 − 12, o sea 4. Si un número tieneabundancia 1 se dice que es «cuasiperfecto», y ¿sabesqué?: no se conoce ningún número cuasiperfecto. No sesabe si existen, pero nadie ha podido demostrar tampo-co que no existan. Lo único que se sabe de momento esque si existe algún número cuasiperfecto debe ser impar,debe ser un cuadrado perfecto y debe ser mayor que 1035 (osea, tiene al menos 35 cifras). Muy fuerte el tema.Si quieres una misión arriesgada en la vida, dedí-cala a buscar números cuasiperfectos.Si podemos pensar en números cuasiperfectos es por-quepodemospensarennúmerosperfectos,¿no?Porsupuesto que sí. ¿Adivinas cómo se definen los números perfectos? Estoy casi seguro de que sí: los números per-fectos son aquellos que no son abundantes ni deficientes,es decir, aquellos en los que la suma de sus divisorespropios es exactamente igual al número. El primero esel 6, porque los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3, que suman exactamente 6. Los números perfectos son boni-tos y bastante misteriosos: de momento todos los que se conocen son pares. Y nadie sabe si es posible que haya unnúmeroperfectoimpar—seríaunhallazgomaravi-–47 –

lloso—, nadie ha encontrado nunca ninguno y nadie ha demostrado que no existan. Tampoco se sabe si existen infinitos números perfectos. De momento se conocen 51números perfectos, que es exactamente el número deprimos de Mersenne. ¿Es eso casualidad? (Ya te digo yo que no.) ¿Están de alguna manera relacionadas estas dosmaravillas numéricas? (Ya te digo yo que sí.) La respues-ta la tienen dos de los más grandes matemáticos de lahistoria, Euclidesy Euler. Pero primero, ¿qué es un nú-mero primo de Mersenne?Los primos de Mersenne son números primos de laforma 2p– 1, donde pes un número primo. Por ejemplo,si pes el 5, tenemos que 25− 1 es 31, que efectivamente es un número primo. Lo chulo del tema es que por mu-choquepseaprimo,nosiempre2p−1loes; porejemplo,cuando p es 11 tenemos que 211 − 1 es 2047, que, como todo el mundo sabe, es 23 por 89, o sea, que no es primo.Los números de Mersenne nos ofrecen una buenaforma de buscar números primos muy grandes: tomamosun número primo pque conozcamos (alguno que seamuy grande), calculamos 2p−1(que va a ser bastantemás grande que p) y si es primo, ¡BINGO! Hemos en-contrado un primo enorme.El problema, como te puedes imaginar, es comprobarsi 2p−1es primo o no, ya que puede implicar cálculos complicadísimos. Pero bueno, para eso están los orde-nadores y las redes de ordenadores, ¿no? Existe una red –53 –