Portadilla
Prefacio
Agradecimientos
Prólogo
Parte 1. La Segunda Ley y su misterio subyacente
1.1. La marcha implacable de la aleatoriedad
1.2. La entropía como recuento de estados
1.3. El espacio de fases y la definición de Boltzmann para la entropía
1.4. El carácter robusto del concepto de entropía
1.5. El inexorable aumento de la entropía en el futuro
1.6. ¿Por qué el pasado es diferente?
Parte 2. La naturaleza singularmente especial del Big Bang
2.1. Nuestro universo en expansión
2.2. El ubicuo fondo de microondas
2.3. Espacio-tiempo, conos nulos, métrica, geometría conforme
2.4. Agujeros negros y singularidades espaciotemporales
2.5. Diagramas conformes y fronteras conformes
2.6. Para comprender en qué modo era especial el Big Bang
Parte 3. Cosmología cíclica conforme
3.1. Conectando con el infinito
3.2. La estructura de la CCC
3.3. Anteriores propuestas pre-Big-Bang
3.4. Cuadrando la Segunda Ley
3.5. CCC y gravedad cuántica
3.6. Implicaciones observacionales
Epílogo
Apéndices
Créditos
Acerca de Random House Mondadori
Notas
Uno de los misterios más profundos de nuestro universo es el enigma de su procedencia.
Cuando, a principios de la década de 1950, ingresé en la Universidad de Cambridge como estudiante de grado en matemáticas, se estaba imponiendo una teoría cosmológica fascinante, conocida como el modelo del estado estacionario. Según este esquema, el universo no tuvo principio y permanecía más o menos igual todo el tiempo. El universo en estado estacionario lo conseguía, pese a su expansión, porque la continua dilución de material que resulta de la expansión del universo se considera compensada por la continua creación de nueva materia, en forma de gas hidrógeno extremadamente difuso. Mi amigo y mentor en Cambridge, el cosmólogo Dennis Sciama, de quien aprendí la excitación de tanta nueva física, era en esa época un fuerte defensor de la cosmología de estado estacionario, y él me transmitió la belleza y potencia de ese notable esquema de cosas.
Pero esta teoría no ha soportado la prueba del tiempo. Unos diez años después de que yo hubiera ingresado por primera vez en Cambridge, y me hubiera familiarizado con la teoría, Arno Penzias y Robert Wilson descubrieron, para su propia sorpresa, una radiación electromagnética que impregnaba todo y procedía de todas direcciones, ahora conocida como el fondo cósmico de microondas o CMB (de Cosmic Microwave Background). Poco después, Robert Dicke identificó este fondo como una consecuencia predicha del «destello» de un Big-Bang origen del universo, que ahora se supone que tuvo lugar hace unos 14.000 millones de años —un suceso que había sido concebido seriamente por primera vez por monseñor George Lemaître en 1927, como una consecuencia de su trabajo sobre las ecuaciones de Einstein de la relatividad general y los primeros indicios observacionales de una expansión del universo. Haciendo gala de gran valor y honestidad científica (cuando los datos del CMB quedaron mejor establecidos), Dennis Sciama repudió públicamente sus ideas anteriores y pasó a apoyar con fuerza la idea del Big Bang origen del universo.
Desde entonces, la cosmología ha madurado desde una búsqueda especulativa hasta una ciencia exacta, y el análisis intenso del CMB —procedente de datos muy detallados, generados por soberbios experimentos— ha formado una parte importante de esta revolución. Sin embargo, quedan muchos misterios, y mucha especulación sigue formando parte de esta empresa. En este libro ofrezco descripciones no solo de los principales modelos de la cosmología relativista clásica sino también de varios desarrollos y cuestiones enigmáticas que han surgido desde entonces. Muy en particular, hay una profunda singularidad subyacente en la Segunda Ley de la termodinámica y la propia naturaleza del Big Bang. En relación con esto, presento un cuerpo de especulación propia, que reúne muchas hebras de diferentes aspectos del universo que conocemos.
Mi propia aproximación heterodoxa data del verano de 2005, aunque muchos detalles son más recientes. Esta exposición entra seriamente en la geometría, pero en el cuerpo principal del texto he evitado incluir algo serio en forma de ecuaciones u otros tecnicismos, que han sido relegados a los apéndices. Solo los expertos son remitidos a esas partes del libro. El esquema que voy a defender es en verdad heterodoxo, pero está basado en ideas geométricas y físicas que están muy firmemente fundamentadas. Aunque es algo completamente diferente, ¡hay en esta propuesta fuertes ecos del viejo modelo del estado estacionario!
Me pregunto qué le hubiera parecido a Dennis Sciama.
Estoy muy agradecido a muchos amigos y colegas por sus importantes aportaciones, y por compartir conmigo sus ideas respecto al esquema cosmológico que presento aquí. Especialmente importantes han sido las discusiones detalladas con Paul Tod, concernientes a la formulación de su propuesta de una versión de extensión conforme de la hipótesis de curvatura de Weyl, que han tenido una influencia crucial; y muchos aspectos de su análisis se han mostrado vitales para el desarrollo detallado de las ecuaciones de la cosmología cíclica conforme, tal como las presento aquí. En el otro extremo, el potente análisis de Helmut Friedrich del infinito conforme, en especial su trabajo sobre el caso en donde hay una constante cosmológica positiva, ha prestado un fuerte apoyo a la viabilidad matemática de este esquema. Otra persona que ha hecho una aportación importante durante muchos años es Wolfgang Rindler, en especial por su seminal comprensión de los horizontes cosmológicos, pero también por su larga colaboración conmigo sobre el formalismo de 2-espinores, y también por discusiones sobre el papel de la cosmología inflacionaria.
Aportaciones significativas proceden de Florence Tsou (Sheung Tsun) y Hong-Mo Chan, que han compartido conmigo sus ideas sobre la naturaleza de la masa en la física de partículas; también James Bjorken ofreció una idea crucial en relación con esto. Entre otros muchos que han tenido una importante influencia sobre mí hay que citar a David Spergel, Amir Hajian, James Peebles, Mike Eastwood, Ed Speigel, Abhay Ashtekar, Neil Turok, Pedro Ferreira, Vahe Gurzadyan, Lee Smolin, Paul Steinhardt, Andrew Hodges, Lionel Mason y Ted Newman. El heroico apoyo editorial de Richard Lawrence ha sido impagable, como la aportación vital de Thomas Lawrence al proporcionar mucha información que faltaba, concerniente en particular a la Parte 1. Hay que dar las gracias a Paul Nash por haber hecho un índice.
Por su gran apoyo, amor y comprensión, frecuentemente en difíciles circunstancias, estoy en deuda profunda con mi mujer Vanessa, a quien también agradezco el haber proporcionado casi al instante algunas gráficas necesarias, pero más en particular por guiarme a través de algunas de las continuas frustraciones de la moderna tecnología electrónica, que de no ser por ella me habrían hecho rendirme ante la elaboración de los diagramas. Finalmente, también hay que dar las gracias a nuestro hijo Max, de diez años de edad, no solo por su continuo ánimo y cariño, sino también por desempeñar su propio papel en la ayuda ante esta desconcertante tecnología.
Estoy agradecido a la M.C. Escher Company, Holanda, por el permiso para reproducir las imágenes utilizadas en la Fig. 2.3. Gracias también al Instituto de Física Teórica de la Universidad de Heidelberg, por la Fig. 2.6. Doy la gracias, además, a la NSF por su apoyo económico bajo PHY00-90091.
Con los párpados medio cerrados, calado por la lluvia y sintiendo en los ojos el picor de las finas gotas de agua procedentes de la nube que se formaba sobre el río, Tom observaba el torrente turbulento que descendía por la ladera de la montaña.
—¡Impresionante! —dijo dirigiéndose a su tía Priscilla, una catedrática de astrofísica de la Universidad de Cambridge, que le había llevado a este maravilloso molino antiguo en excelente estado de conservación—, ¿siempre es así? No me extraña que esta vieja maquinaria pueda seguir dando vueltas a una velocidad tan grande.
—No creo que siempre lleve tanta energía —dijo Priscilla, que permanecía junto a él tras la barrera a la orilla del río, elevando algo su voz para hacerse oír por encima del ruido del agua rugiente—. El agua está hoy mucho más violenta que de costumbre a causa de este tiempo lluvioso. Ya ves que ha habido que desviar buena parte del agua para que no llegue al molino. En circunstancias normales no se haría, porque habría que aprovechar al máximo un flujo mucho más tranquilo. Pero ahora el flujo lleva mucha más energía que la que se necesita para mover el molino.
Tom observó durante algunos minutos el agua tumultuosa y admiró las complicadas figuras que formaban los vapores cuando ascendían en el aire.
—Puedo ver que hay mucha energía en el agua, y sé que hace un par de siglos la gente era suficientemente inteligente para ver cómo se podía utilizar toda esta energía para impulsar estas máquinas, que realizaban el trabajo de muchos seres humanos y tejían todos esos tejidos de lana. Pero ¿de dónde procedía inicialmente la energía que llevó toda esa agua a lo alto de la montaña?
—Fue el calor del Sol el que hizo que el agua de los océanos se evaporara y ascendiera, de modo que con el tiempo volvió a caer en forma de lluvia. Y una buena proporción de la lluvia se depositó en lo alto de las montañas —respondió Priscilla—. En realidad es la energía del Sol la que se está aprovechando para mover el molino.
Tom se sintió un poco intrigado por esto. A menudo se sentía intrigado por las cosas que le contaba Priscilla, y era bastante escéptico por naturaleza. Realmente no podía ver cómo el calor podía elevar el agua en el aire. Y si había tanto calor, ¿por qué él sentía frío ahora?
Ayer hacía calor —concedió a regañadientes. Aunque, aún incómodo, comentó—: Pero yo no sentía que el Sol tratara de levantarme en el aire más de lo que lo siento ahora.
La tía Priscilla se rió.
—No, no es realmente así. Son las minúsculas moléculas del agua en los océanos las que se hacen más energéticas gracias al calor del Sol. Por eso, dichas moléculas se mueven aleatoriamente mucho más rápidas que lo harían de lo contrario, y unas pocas de esas moléculas «calientes» se moverán tan rápidas que se despegarán de la superficie del agua y se elevarán en el aire. Y aunque son relativamente pocas las moléculas que ascienden en un instante, los océanos son tan grandes que realmente habrá una gran cantidad de agua ascendiendo en conjunto. Esas moléculas forman las nubes, y finalmente las moléculas de agua vuelven a caer en forma de lluvia, buena parte de la cual cae en lo alto de las montañas.
Tom se sentía aún bastante incómodo, pero al menos la lluvia había amainado algo.
—Pero esta lluvia no me parece nada caliente.
—Piensa que la energía del Sol se convierte inicialmente en la energía del movimiento aleatorio rápido de las moléculas de agua —dijo la tía Priscilla—. Piensa luego que ese movimiento rápido da como resultado que una pequeña proporción de las moléculas sean tan rápidas que se elevan en forma de vapor de agua. La energía de estas moléculas se convierte en lo que se denomina energía potencial gravitatoria. Piensa en lo que pasa cuando arrojas una bola al aire. Cuanto mayor es la energía con la que la lanzas, más alto sube. Pero cuando alcanza la altura máxima, deja de subir. En ese momento toda su energía de movimiento se ha transformado en energía potencial gravitatoria correspondiente a su altura sobre el suelo. Lo mismo sucede con las moléculas de agua. Su energía de movimiento (la energía que obtuvieron del calor del Sol) se convierte en esa energía potencial gravitatoria, ahora en la cima de la montaña, y cuando corre hacia abajo, esta energía potencial se convierte de nuevo en energía cinética de movimiento, que se utiliza para mover el molino.
—Entonces, ¿el agua no está caliente en absoluto cuando está allí arriba —preguntó Tom.
—Exactamente, querido. Cuando esas moléculas llegan a una gran altura en el cielo, se frenan y con frecuencia se congelan en minúsculos cristales de hielo (de eso están hechas la mayor parte de las nubes), de modo que la energía entra en su altura sobre el suelo antes que en su movimiento térmico. Como consecuencia, la lluvia no está caliente allí, e incluso está bastante fría cuando finalmente empieza a caer de nuevo, frenada por la resistencia del aire.
—¡Eso es sorprendente!
—Si, realmente lo es. —Y, animada por el interés del muchacho, la tía Priscilla aprovechó la oportunidad para seguir diciendo—: ¿Sabes?, lo curioso es que incluso en el agua fría en este río sigue habiendo mucha más energía térmica en el movimiento de las moléculas individuales que se mueven aleatoriamente a gran velocidad que la que hay en las corrientes turbulentas de agua que descienden por la ladera de la montaña.
—¡Anda ya! ¿Se supone que tengo que creermelo?
Tom reflexionó durante unos minutos, algo confundido al principio; pero luego, más atraído por lo que Pricilla decía, comentó excitado:
—¡Me has dado una gran idea! ¿Por qué no construimos un tipo de molino especial que utilice directamente toda la energía de las moléculas del agua en un lago ordinario? Podría utilizar montones de minúsculos molinillos, quizá como esos molinillos que giran en el viento, con pequeñas capuchas en los extremos para que puedan girar y ponerse siempre en la dirección del viento, venga de donde venga. Solo que en este caso tendrían que ser pequeñísimos y estar dentro del agua, de modo que fuera la velocidad de las moléculas del agua lo que los hiciera girar, y así podrían utilizarse para aprovechar la energía del movimiento en las moléculas de agua para impulsar todo tipo de máquinas.
—Esa es una idea maravillosa, querido Tom, ¡solo que por desgracia no funcionaría! La razón está en un principio físico fundamental conocido como Segunda Ley de la termodinámica, que más o menos dice que las cosas se hacen cada vez más desorganizadas con el paso del tiempo. Más en concreto, dice que no se puede sacar energía útil de los movimientos aleatorios de un cuerpo caliente (o frío). Me temo que lo que estás sugiriendo es lo que se llama un «demonio de Maxwell».
—¡No empieces con eso! Sabes que el abuelo siempre me llamaba «pequeño demonio» cuando tenía una buena idea, y a mí no me gustaba. Y esa Segunda Ley no es una ley muy bonita —se quejó Tom de mal humor. Luego recuperó su escepticismo natural—:Y en cualquier caso no estoy seguro de que pueda creérmela. —Después continuó—: Creo que leyes como esa solo necesitan ideas inteligentes para superarlas. En cualquier caso, pensaba que tú habías dicho que es el calor del Sol el responsable de calentar los océanos, y que es esa energía del movimiento aleatorio la que sube a la cima de las montañas, y eso es lo que mueve el molino.
—Sí, tienes razón. Así que la Segunda Ley nos dice que el calor del Sol por sí solo no haría el trabajo. Para que funcione, también necesitamos que la alta atmósfera esté más fría, para que el vapor de agua pueda condensarse sobre la montaña. De hecho, la Tierra en conjunto no obtiene ninguna energía del Sol.
Tom miró a su tía con una expresión interrogativa.
—Qué tiene que ver la alta atmósfera fría con todo esto? ¿No significa «frío» que no hay tanta energía como en «caliente»? ¿De qué sirve un poco de «no tanta energía»? No entiendo lo que estás diciendo. Me parece que te estás contradiciendo —dijo Tom con aplomo—. Primero me dices que la energía del Sol mueve el molino, y ahora me dices que el Sol no cede energía a la Tierra después de todo.
—Es verdad, no lo hace. Si lo hiciera, la Tierra se calentaría cada vez más a medida que ganara energía. La energía que la Tierra obtiene del Sol durante el día tiene que volver al espacio finalmente, y lo hace debido al cielo frío nocturno; salvo que, supongo, con el calentamiento global una pequeña parte de la misma vuelve a la Tierra. Por eso el Sol es un punto muy caliente en un cielo por lo demás oscuro y frío…
Tom empezaba a perder el hilo de lo que ella estaba diciendo y su mente empezó a divagar. Pero le oía decir:
—… de modo que es la organización manifiesta en la energía del Sol la que nos permite mantener a raya la Segunda Ley.
Tom miró a la tía Priscilla, casi totalmente desconcertado.
—No creo que pueda entender todo eso —dijo—, y no veo por qué tengo que creerme esa «Segunda Ley». Además, ¿de dónde viene toda esa organización del Sol? Tu Segunda Ley debería decirnos que el Sol se hace cada vez más desorganizado con el paso del tiempo, de modo que tendría que haber estado enormemente organizado cuando se formó inicialmente, puesto que continuamente está desprendiendo organización. Tu «Segunda Ley» nos dice que su organización se está perdiendo continuamente».
—Eso tiene que ver con el hecho de que el Sol es un punto caliente en el cielo oscuro. Ese desequilibrio extremo de temperatura proporcionó la organización necesaria.
Tom miró fijamente a la tía Priscilla, sin entender ahora nada de lo que ella le estaba diciendo.
—Me dices que eso cuenta como organización; bueno, no veo por qué debería contar. Supongamos que de algún modo lo hace, pero entonces todavía tendrías que decirme de dónde procede ese curioso tipo de organización.
—Procede del hecho de que el gas a partir del cual se condensó el Sol estaba antes uniformemente disperso, y la gravedad pudo hacer que se formasen grumos que se condensaron gravitatoriamente en estrellas. Hace muchísimo tiempo el Sol hacía precisamente eso; se condensaba a partir de ese gas inicialmente disperso, y se hacía cada vez más caliente en el proceso.
—Sigues diciéndome una cosa detrás de otra, retrocediendo en el tiempo, pero ¿de dónde procedía originalmente eso que llamas «organización», sea lo que sea?
—En última instancia procede del Big Bang, que fue lo que puso en marcha el universo entero con una tremenda explosión.
—No parece que una tremenda explosión sea algo muy organizado. Para mí no lo es.
—¡No eres el único que piensa así! Estás en buena compañía si no lo crees. Nadie lo cree realmente. Uno de los mayores enigmas de la cosmología es de dónde procede la organización, y en qué forma el Big Bang representa organización.
—¿No podría haber algo más organizado antes del Big Bang? Eso podría explicarlo.
—La gente ha tratado de sugerir cosas como esa durante algún tiempo. Hay teorías en las que nuestro universo actualmente en expansión tuvo una fase de colapso anterior que «rebotó» para convertirse en nuestro Big Bang. Y hay teorías en las que pequeños fragmentos de una fase anterior del universo colapsaron en objetos que llamamos agujeros negros, y esos fragmentos «rebotaron» para convertirse en nuevas semillas de montones y montones de nuevos universos en expansión, y hay otras en donde brotan nuevos universos a partir de cosas llamadas «falsos vacíos»…
—Todo eso suena completamente descabellado para mí —dijo Tom.
—Y, ¡ah sí!, existe otra teoría de la que he oído hablar recientemente…
1.1. La marcha implacable de la aleatoriedad.
1.2. La entropía como recuento de estados.
1.3. El espacio de fases y la definición de Boltzmann para la entropía.
1.4. El carácter robusto del concepto de entropía.
1.5. El inexorable aumento de la entropía en el futuro.
1.6. ¿Por qué el pasado es diferente?
La Segunda Ley de la termodinámica… ¿cuál es esta ley? ¿Cuál es su papel fundamental en el comportamiento físico? ¿Y en qué sentido nos presenta un misterio auténticamente profundo? En las últimas secciones de este libro trataremos de entender la enigmática naturaleza de este misterio y por qué nos vemos impulsados a hacer todo lo posible por resolverlo. Esto nos llevará a áreas inexploradas de la cosmología, y a cuestiones que en mi opinión solo pueden resolverse adoptando una perspectiva nueva y muy radical sobre la historia de nuestro universo. Pero estas son cuestiones en las que nos interesaremos más tarde. Por el momento vamos a limitar nuestra atención a la tarea de entender lo que hay implicado en esta ubicua ley.
Normalmente, cuando pensamos en una «ley de la física» pensamos en un enunciado que afirma una igualdad entre dos cosas diferentes. La segunda ley de movimiento de Newton, por ejemplo, iguala la tasa de cambio del momento lineal (el producto de la masa por la velocidad) de una partícula a la fuerza total que actúa sobre la misma. Otro ejemplo es la ley de la conservación de la energía, que afirma que la energía total de un sistema aislado en un instante es igual a su energía total en cualquier otro instante. Análogamente, las leyes de conservación de la carga eléctrica, del momento lineal y del momento angular afirman una correspondiente igualdad para la carga eléctrica total, el momento lineal total y el momento angular total. La famosa ley de Einstein E = mc2 afirma que la energía de un sistema es siempre igual a su masa multiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz. Y otro ejemplo más: la tercera ley de Newton afirma que la fuerza ejercida por un cuerpo A sobre un cuerpo B, en cualquier instante, es siempre igual y opuesta a la fuerza que actúa sobre A debida a B.Y lo mismo sucede con otras muchas leyes de la física.
Todas estas son igualdades; y esto se aplica también a la llamada Primera Ley de la termodinámica, que en realidad es otra vez la ley de conservación de la energía, aunque ahora en un contexto termodinámico. Decimos «termodinámico» porque ahora se tiene en cuenta la energía de los movimientos térmicos, es decir, la energía de los movimientos aleatorios de las partículas constituyentes individuales. Esta energía es la energía térmica del sistema; la temperatura del sistema se define como dicha energía por grado de libertad (como consideraré de nuevo más adelante). Por ejemplo, cuando la fricción con el aire frena un proyectil, esto no viola la ley de conservación de la energía (esto es, la Primera Ley de la termodinámica); aunque el proyectil pierde energía cinética al frenarse, los movimientos aleatorios de las moléculas del aire, y las del proyectil, se hacen ligeramente más energéticos debido al calentamiento que produce la fricción.
Sin embargo, la Segunda Ley de la termodinámica no es una igualdad, sino una desigualdad que afirma simplemente que cierta magnitud conocida como la entropía de un sistema aislado —que es una medida del desorden, o «aleatoriedad», del sistema— es mayor (o al menos no menor) en instantes posteriores que lo era en instantes anteriores. Junto a esta aparente debilidad del enunciado, encontraremos que también hay cierta vaguedad o subjetividad en la propia definición de entropía de un sistema general. Más aún, en muchas formulaciones nos vemos llevados a concluir que hay momentos excepcionales u ocasionales en los que hay que considerar que la entropía realmente se reduce (aunque momentáneamente) con el tiempo (en una fluctuación) pese a que la tendencia general es hacia un aumento de la entropía.
Pero, frente a esta aparente imprecisión inherente en la Segunda Ley (como la llamaré de ahora en adelante para abreviar), esta ley tiene una universalidad que va mucho más allá de cualquier sistema particular de reglas dinámicas con las que se podría estar concernido. Es válida igualmente, por ejemplo, tanto para la teoría de la relatividad como para la teoría newtoniana, y asimismo para los campos continuos de la teoría del electromagnetismo de Maxwell (que trataré brevemente en §2.6, §3.1 y §3.2, y algo más explícitamente en el apéndice A1), así como también lo es para teorías que solo incluyen partículas discretas. Es válida incluso para hipotéticas teorías dinámicas de las que no tenemos ninguna buena razón para creer que tengan relevancia para el universo real en el que habitamos. No obstante, su pertinencia queda más manifiesta cuando se trata con esquemas dinámicos realistas, tales como la mecánica newtoniana, que tienen una evolución determinista y son reversibles en el tiempo, de modo que para cualquier evolución admisible hacia el futuro la inversión de la dirección del tiempo nos da otra evolución igualmente admisible de acuerdo con el esquema dinámico.
Para decirlo en términos familiares: si tenemos una película que muestra una acción que está de acuerdo con leyes dinámicas —tales como las de Newton— que son reversibles en el tiempo, entonces la situación mostrada cuando la película se pasa al revés también estará de acuerdo con dichas leyes dinámicas. El lector podría sentirse intrigado por esto, pues mientras que una película que muestra un huevo que rueda por una mesa, cae al suelo y se aplasta representaría un proceso dinámico admisible, la película pasada al revés (que muestra el huevo aplastado, originalmente un amasijo en el suelo, que se recompone milagrosamente a partir de los fragmentos de cáscara, con la yema y la albúmina uniéndose por separado hasta rodearse de la cáscara recompuesta, y luego salta a la mesa) no es algo que esperemos ver alguna vez en un proceso físico real (Fig. 1.1). Pero la dinámica newtoniana de cada partícula individual, con su respuesta acelerada (de acuerdo con la segunda ley de Newton) a todas las fuerzas que actúan sobre ella, y las reacciones elásticas implicadas en cualquier colisión entre las partículas constituyentes, es completamente reversible en el tiempo. Este sería también el caso para el comportamiento refinado de partículas relativistas y mecanocuánticas, de acuerdo con los procedimientos estándar de la física moderna, aunque hay ciertas sutilezas que surgen de la física de agujeros negros de la relatividad general, y también de la mecánica cuántica, en las que no quiero entrar todavía. Algunas de estas sutilezas tendrán una importancia crucial para nosotros más adelante, y se considerarán especialmente en §3.4. Pero por el momento bastará una imagen totalmente newtoniana de las cosas.
Tenemos que acostumbrarnos al hecho de que las situaciones que se muestran pasando la película en ambas direcciones son compatibles con la dinámica newtoniana, pero la que muestra la autorrecomposición del huevo es incompatible con la Segunda Ley, y sería una secuencia de sucesos tan sumamente improbable que sencillamente podemos descartarla como posibilidad realista. Lo que la Segunda Ley establece realmente, hablando en términos generales, es que las cosas se hacen cada vez más «aleatorias». De modo que si fijamos una situación particular y luego dejamos que evolucione hacia el futuro de acuerdo con la dinámica, el sistema evolucionará hacia un estado de apariencia más aleatoria a medida que pasa el tiempo. Hablando en sentido estricto, no deberíamos decir que evolucionará hacia un estado de apariencia más aleatoria sino que, de acuerdo con lo que se ha dicho antes, es abrumadoramente probable que evolucione hacia tal estado más aleatorio. En la práctica cabe esperar que, de acuerdo con la Segunda Ley, las cosas se hagan cada vez más y más aleatorias con el paso del tiempo, aunque esto representa simplemente una aplastante probabilidad, y no una absoluta certeza.
Fig. 1.1. Un huevo que rueda por una mesa, cae al suelo y se aplasta, de acuerdo con leyes dinámicas reversibles en el tiempo.
De todas formas podemos afirmar, con un extraordinario grado de confianza, que lo que experimentaremos será un aumento de entropía; en otras palabras, un aumento de aleatoriedad. Dicho así, la Segunda Ley suena quizá como una advertencia desesperada, pues nos dice que las cosas se están desorganizando cada vez más con el paso del tiempo. Esto no suena a misterio, sin embargo, como el título de la Parte 1 parece sugerir. Es solo un aspecto obvio de cómo se comportarían las cosas si las dejamos a sí mismas. La Segunda Ley parece expresar una inevitable, y quizá deprimente, característica de la existencia cotidiana. De hecho, desde este punto de vista, la Segunda Ley de la termodinámica es una de las cosas más naturales imaginables y, por supuesto, algo que refleja una experiencia completamente común.
A algunos les podría preocupar que la emergencia de vida en esta Tierra, con su casi increíble sofisticación, represente una contradicción con este aumento del desorden que exige la Segunda Ley. Más tarde explicaré (véase §2.2) por qué no hay realmente contradicción. La biología es, hasta donde sabemos, totalmente compatible con el aumento de entropía global que exige la Segunda Ley. El misterio al que se refiere el título de esta Parte 1 es un misterio de la física en una escala de un orden totalmente diferente. Aunque guarda una relación precisa con esa misteriosa y enigmática organización que continuamente se nos manifiesta a través de la biología, tenemos buenas razones para esperar que esta última no presente ninguna paradoja con respecto a la Segunda Ley.
No obstante, una cosa debería quedar clara con respecto al estatus físico de la Segunda Ley: esta representa un principio independiente que debe ser añadido a las leyes dinámicas (por ejemplo, a las leyes de Newton), y no debe considerarse como algo que se deduce de ellas. La definición real de la entropía de un sistema en cualquier instante es, sin embargo, simétrica con respecto a la dirección del tiempo, de modo que obtenemos la misma definición de entropía, para nuestra película del huevo que cae, en cualquier instante, con independencia de la dirección en que se pase la película.Y si las leyes dinámicas son también simétricas en el tiempo (como sucede realmente con la dinámica newtoniana), y la entropía de un sistema no es siempre constante en el tiempo (como es tan evidente en el caso del huevo aplastado), entonces la Segunda Ley no puede ser una deducción de dichas leyes dinámicas. Pues si la entropía está aumentando en una situación particular (por ejemplo, el huevo que se aplasta), estando de acuerdo con la Segunda Ley, entonces la entropía debe estar disminuyendo en la situación invertida (el huevo que se recompone milagrosamente), lo que es una flagrante violación de la Segunda Ley. Puesto que aun así ambos procesos son compatibles con la dinámica (newtoniana), concluimos que la Segunda Ley no puede ser una consecuencia de las leyes dinámicas.
Pero ¿de qué manera la noción física de «entropía», tal como aparece en la Segunda Ley, cuantifica realmente esta «aleatoriedad», de modo que la autorrecomposición del huevo pueda verse como abrumadoramente improbable y, por consiguiente, pueda descartarse como una posibilidad seria? Para ser un poco más explícito sobre cuál es realmente el concepto de entropía, de modo que podamos describir mejor lo que realmente afirma la Segunda Ley, consideremos un sistema físicamente bastante más sencillo que el huevo que se rompe. La Segunda Ley nos dice, por ejemplo, que si derramamos un poco de pintura roja en un recipiente y luego un poco de pintura azul en el mismo recipiente, y agitamos con fuerza la mezcla, entonces, tras un corto período de agitación, las diferentes regiones de rojo y azul perderán su individualidad, y finalmente el contenido entero del recipiente parecerá tener un color púrpura uniforme. Parece que ninguna agitación adicional convertirá de nuevo el color púrpura en las regiones originales roja y azul separadas, pese a la reversibilidad temporal de los procesos submicroscópicos subyacentes en el mezclado. De hecho, el color púrpura resultará espontáneamente, aun sin agitación, en especial si calentamos un poco la pintura. Pero con agitación el estado púrpura se alcanza mucho más rápidamente. En términos de entropía, encontramos que el estado original, en el que hay regiones claramente separadas de pintura roja y pintura azul, tendrá una entropía relativamente baja, pero el recipiente con pintura púrpura uniforme con que acabamos tendrá una entropía mucho mayor. De hecho, el procedimiento de agitación nos ofrece una situación que no solo es compatible con la Segunda Ley sino que empieza a darnos una idea de cuál es realmente el contenido de la Segunda Ley.
Fig. 1.2. Caja cúbica N × N × N; cada compartimento contiene una bola roja o una bola azul.
Tratemos de ser más precisos sobre el concepto de entropía, para que podamos ser más explícitos acerca de lo que está sucediendo. ¿Qué es realmente la entropía de un sistema? Básicamente, la noción es bastante elemental, aunque implica algunas ideas sutiles, debidas principalmente al gran físico austríaco Ludwig Boltzmann, y tiene que ver precisamente con el recuento de las diferentes posibilidades. Para simplificar las cosas idealizaremos nuestro ejemplo del recipiente con pintura de modo que haya solo un número finito (muy grande) de posibilidades diferentes para las posiciones de cada molécula de pintura roja o de pintura azul. Consideremos nuestro recipiente como una gran caja cúbica subdividida en N × N × N compartimentos, y pensemos en las moléculas de pintura como si fueran bolas rojas o bolas azules a las que solo se permite ocupar posiciones discretas, centradas en los N3 compartimentos cúbicos (véase la Fig. 1.2), suponiendo que cada compartimento está ocupado por exactamente una bola, sea roja o azul (representadas como blancas y negras, respectivamente, en la figura).
Para estimar el color de la pintura en un lugar del recipiente hacemos una especie de promedio de la densidad relativa de bolas rojas frente a bolas azules en el entorno de la localización considerada. Hagámoslo rodeando dicha localización con una caja cúbica mucho más pequeña que la primera caja, pero muy grande comparada con los compartimentos cúbicos que acabamos de considerar. Supondré que esta caja intermedia contiene un gran número de los compartimentos considerados y pertenece a una red cúbica que llena toda la caja grande y es menos refinada que la red de compartimentos originales (Fig. 1.3). Supongamos que la longitud del lado de cada caja intermedia es n veces mayor que la de los compartimentos originales, de modo que hay n × n × n = n3 compartimentos en cada caja intermedia. Aquí n, aunque sigue siendo muy grande, debe tomarse mucho más pequeño que N:
Para simplificar las cosas, supondré que N es un múltiplo exacto de n, de modo que
donde k es un número entero que da el número de cajas intermedias que llenan cada lado de la caja grande. Ahora habrá k × k × k = k3 de estas cajas de tamaño intermedio en toda la caja grande.
La idea consistirá en utilizar estas cajas intermedias para que nos den una medida del «color» que vemos en la localización de dicha caja, donde las propias bolas se consideran demasiado pequeñas para que puedan verse individualmente. A cada caja intermedia se le podrá asignar un color, o tono, promedio, obtenido al «promediar» los colores de las bolas rojas y azules dentro de la caja. Así, si r es el número de bolas rojas en la caja en consideración, y a es el número de bolas azules en ella (de modo que r + a = n3), entonces el tono en dicha localización se considera definido por la razón entre r y a. Por consiguiente, consideramos que tenemos un tono más rojo si r/a es mayor que 1 y un tono más azul si r/a es menor que 1.
Fig. 1.3. Los compartimentos se agrupan en k3 cajas intermedias, cada una de ellas de un tamaño n × n × n.
Supongamos que la mezcla nos parece un púrpura uniforme si cada uno de estos n × n × n compartimentos tiene un valor r/a comprendido entre 0,999 y 1,001 (de modo que r y a son casi iguales, con un margen de error de una décima de 1 por ciento). A primera vista, esto puede parecer un requisito bastante restrictivo (al tenerse que aplicar a cada uno de los n × n × n compartimentos individuales). Pero cuando n se hace muy grande, encontramos que ¡la inmensa mayoría de disposiciones de bolas satisfacen esta condición! También deberíamos tener en cuenta que cuando consideramos moléculas en una lata de pintura, el número de ellas será inimaginablemente grande para los estándares ordinarios. Por ejemplo, podría haber un número del orden de 1024 moléculas en una lata de pintura ordinaria, de modo que tomar N = 108 no es en absoluto irrazonable. Además, como quedará claro cuando consideremos que los colores parecen perfectamente puros en fotografías digitales con un tamaño de píxel de 10−2 cm, también es muy razonable tomar un valor k = 103 en este modelo. A partir de esto, encontramos que con estos números (N = 108 y k = 103, de modo que n = 105) hay unas 1023 570000 000000 000000 000000 disposiciones diferentes de la colección de ½N3 bolas rojas y ½N3 que dan la apariencia de un púrpura uniforme. Hay solamente 1046 500000 000000 disposiciones diferentes que dan la configuración original en la que todas las bolas azules están arriba y todas las bolas rojas están abajo. Así, para bolas distribuidas completamente al azar, la probabilidad de encontrar púrpura uniforme es prácticamente una certeza, mientras que la probabilidad de encontrar todas las bolas azules arriba es del orden de 10−23 570000 000000 000000 000000 (y esta cifra no cambia sustancialmente si no exigimos que «todas» las bolas azules estén inicialmente arriba, sino que, digamos, solo el 99,9 por ciento de ellas estén arriba).
Vamos a considerar que la «entropía» es algo parecido a una medida de estas probabilidades o, más bien, de estos diferentes números de disposiciones que dan la misma «apariencia global». En realidad, utilizar estos números directamente daría una medida extremadamente difícil de controlar, debido a sus enormes diferencias en tamaño. Por eso, es una suerte que haya buenas razones teóricas para tomar el logaritmo (natural) de estos números como una medida de «entropía» más apropiada. Para los lectores que no estén muy familiarizados con la noción de logaritmo (especialmente de logaritmo «natural») expresaré las cosas en términos de logaritmos en base 10, que se escribe «log10» (en lugar del logaritmo natural, utilizado más tarde, al que llamaré simplemente «log»). Para entender log10, la idea básica que hay que recordar es que
Es decir, para obtener el log10 de una potencia de 10, simplemente contamos el número de ceros. Para un número entero (positivo) que no es una potencia de 10, podemos generalizar esto diciendo que la parte entera (es decir, el número antes de la coma decimal) de su logaritmo se obtiene contando el número total de dígitos y restando 1, por ejemplo (con la parte entera escrita en negrita),
etc., de modo que en cada caso el número en negrita es solo uno menos que el número de dígitos en el número del que estamos tomando el logaritmo. La propiedad más importante de log10 (o de log) es que convierte la multiplicación en suma; es decir:
(En el caso de que a y b sean ambos potencias de 10, esto es obvio a partir de lo anterior, puesto que multiplicando a = 10A por b = 10B nos da ab = 10A+B.)
La trascendencia de la relación antes mostrada para el uso del logaritmo en la noción de entropía es que queremos que la entropía de un sistema que consiste en dos componentes separadas y por completo independientes sea simplemente la que obtenemos sumando las entropías de las partes individuales. Decimos que, en este sentido, el concepto de entropía es aditivo. De hecho, si la primera componente puede darse en P maneras diferentes y la segunda en Q maneras diferentes, entonces el sistema entero —que consiste en ambas componentes juntas— podrá darse en el producto PQ de maneras diferentes (puesto que para cada una de las P disposiciones en que se da la primera componente habrá exactamente Q disposiciones en que se da la segunda). Así, definiendo la entropía del estado de cualquier sistema como algo proporcional al logaritmo del número de maneras diferentes en que puede darse dicho estado, aseguramos que se satisfaga realmente esta propiedad de aditividad para sistemas independientes.
Sin embargo, todavía he sido un poco vago sobre lo que entiendo por este «número de maneras en que puede darse el estado de un sistema». En primer lugar, cuando modelamos las localizaciones de las moléculas (en una lata de pintura, digamos) normalmente no consideraríamos realista tener compartimentos discretos, puesto que en la teoría newtoniana, con todo detalle, habría un número infinito de diferentes localizaciones posibles para cada molécula y no solamente un número finito. Además, cada molécula individual podría tener una forma asimétrica, de modo que podría estar orientada en el espacio de diferentes maneras. O podría tener otros tipos de grados de libertad internos, tales como distorsiones de su forma, que tendrían que ser tenidos en cuenta. Cada una de estas orientaciones o distorsiones tendría que contar como una configuración diferente del sistema. Podemos tratar todos estos puntos considerando lo que se conoce como el espacio de configuración de un sistema, que paso a describir.
Para un sistema de d grados de libertad, el espacio de configuración sería un espacio d-dimensional. Por ejemplo, si el sistema consistiera en q partículas puntuales p1, p2, …, pq (cada una de ellas sin grados de libertad internos), entonces el espacio de configuración tendría 3q dimensiones. La razón es que cada partícula individual requiere precisamente tres coordenadas para determinar su posición, de modo que hay 3q coordenadas en total, y así un único punto P del espacio de configuración define las localizaciones de todos los p1, p2, …, pq juntos (véase la Fig. 1.4). En situaciones más complicadas, en las que hay grados de libertad internos, tendríamos más grados de libertad para cada partícula, pero la idea general es la misma. Por supuesto, no espero que el lector sea capaz de «visualizar» lo que sucede en un espacio de tan alto número de dimensiones. Esto no será necesario. Nos haremos una idea suficientemente buena si imaginamos que las cosas suceden en un espacio de solo 2 dimensiones (tal como una región dibujada en una hoja de papel) o una región en el espacio tridimensional ordinario, con tal de que siempre tengamos en cuenta que dichas visualizaciones serán inevitablemente limitadas en algunos aspectos, a algunos de los cuales llegaremos pronto.Y, por supuesto, siempre deberíamos tener en mente que tales espacios son espacios matemáticos puramente abstractos que no deberían confundirse con el espacio físico 3-dimensional o el espacio-tiempo físico 4-dimensional de nuestras experiencias ordinarias.
Fig. 1.4. El espacio de configuración 
de q partículas puntuales p1, p2, …, pq es un espacio 3q-dimensional.
Hay otro punto que necesita clarificación en nuestros intentos de una definición de entropía, y se refiere a qué es exactamente lo que estamos tratando de contar. En el caso de nuestro modelo finito teníamos números finitos de disposiciones diferentes para las bolas rojas y azules. Pero ahora tenemos un número infinito de disposiciones (puesto que las localizaciones de las partículas requieren parámetros continuos), y esto nos lleva a considerar volúmenes de altas dimensiones en el espacio de configuración para darnos una medida adecuada de tamaño, en lugar de contar solo cosas discretas.
Para hacernos una idea de lo que se entiende por un «volumen» en un espacio de alta dimensión, es bueno pensar primero en dimensiones menores. La «medida de volumen» para una región de una superficie curva 2-dimensional, por ejemplo, sería simplemente la medida del área de dicha región. En el caso de un espacio 1-dimensional, estamos pensando simplemente en la longitud a lo largo de una porción de la curva. En un espacio de configuración n-dimensional, estaríamos pensando en términos de un análogo n-dimensional al 3-volumen de una región ordinaria.
Pero ¿de qué regiones del espacio de configuración vamos a medir los volúmenes cuando estamos interesados en la definición de entropía? Básicamente, lo que nos interesaría sería el volumen de toda esa región en el espacio de configuración que corresponde al conjunto de estados que «parecen iguales» que el estado concreto en consideración. Por supuesto, «parecen iguales» es una expresión bastante vaga. Lo que aquí significa realmente es que tenemos un conjunto razonablemente exhaustivo de parámetros macroscópicos que miden cosas tales como la distribución de densidad, el color, la composición química… pero no estamos interesados en cosas tan detalladas como las localizaciones exactas de todos los átomos que constituyen el sistema en consideración. Esta división del espacio de configuración en regiones que «parecen iguales» en este sentido se conoce como un «granulado grueso» de . Así, cada «región de grano grueso» consiste en puntos que representan estados que se considerarían indistinguibles entre sí por medio de medidas macroscópicas. Véase la Fig. 1.5.
Fig. 1.5. Un granulado grueso de .
Por supuesto, lo que aquí se entiende por medida «macroscópica» sigue siendo bastante vago, pero estamos buscando algo análogo a la noción de «tono» en la que estábamos interesados en nuestro modelo finito simplificado para la lata de pintura. Hay que reconocer que existe cierta vaguedad en tal noción de «granulado grueso», pero es el volumen de dicha región en el espacio de configuración —o, más bien, el logaritmo del volumen de dicha región de grano grueso— lo que nos interesa para la definición de entropía. Sí, esto sigue siendo un poco vago, pero aun así es extraordinario lo robusta que resulta ser la noción de entropía, debido sobre todo a las absolutamente desmesuradas razones entre volúmenes que resultan de los volúmenes de grano grueso.