Prólogo

Am-tep, un artista de habilidades consumadas, era el maestro artesano del rey. Esa noche estaba durmiendo en el sofá de su taller, cansado después de una tarde de trabajo generosamente productivo, pero no podía conciliar el sueño, quizá por una tensión intangible que se respiraba en el aire. En realidad, ni siquiera estaba seguro de estar dormido cuando sucedió. De repente, había amanecido, aunque él tenía la sensación de que todavía debía ser de noche.

Se levantó con brusquedad. Algo muy extraño estaba sucediendo. La luz del alba no podía venir del norte; y, sin embargo, una luz roja resplandecía alarmantemente en su amplia ventana que daba al norte sobre el mar. Se acercó a la ventana y miró al exterior con estupor e incredulidad. ¡Nunca antes había salido el Sol por el norte! Aturdido como estaba, necesitó algún tiempo para darse cuenta de que eso no podía ser el Sol. Era un rayo de luz distante, de un intenso rojo vivo, proyectado verticalmente desde las aguas hacia el cielo.

Mientras permanecía allí, sobre el haz apareció una nube más oscura que daba al conjunto la apariencia de una sombrilla gigantesca y lejana, de un brillo maligno, con un bastón llameante y lleno de humo. La capucha de la sombrilla empezó a ensancharse y oscurecerse: parecía un demonio del mundo subterráneo. La noche se había aclarado, pero ahora las estrellas desaparecían una tras otra engullidas por el avance de esa monstruosa criatura del infierno.

Aunque su reacción natural debería haber sido de terror, él permaneció inmóvil, paralizado durante varios minutos ante la perfecta simetría y la impresionante belleza de la escena. Pero entonces la terrible nube empezó a desviarse ligeramente hacia el este, empujada por el viento. Quizá eso le alivió algo y el hechizo se rompió momentáneamente. Pero de inmediato volvió a sentir aprensión cuando le pareció experimentar una extraña alteración en el suelo, acompañada de un ruido sordo, inquietante, de una naturaleza completamente desconocida para él. Empezó a preguntarse qué podía haber provocado tanta furia. Nunca antes había sido testigo de la ira divina de una magnitud semejante.

Su primera reacción fue culparse a sí mismo por el diseño de la copa sacrificial que acababa de terminar: eso le había tenido preocupado. ¿Quizá su representación del dios-toro no había sido suficientemente terrorífica? ¿Se había ofendido el dios? Pero pronto comprendió lo absurdo de su idea. La furia de la que había sido testigo no podía ser el resultado de una acción tan trivial como la suya, y seguramente no iba dirigida contra él en particular. Pero sabía que habría problemas en el Gran Palacio. El rey sacerdote se apresuraría a tratar de apaciguar a ese dios demonio. Habría sacrificios. Las tradicionales ofrendas de frutos o incluso animales no serían suficientes para aplacar una ira de esa magnitud. Los sacrificios serían humanos.

De repente, y para su sorpresa, se vio lanzado hacia el fondo de la habitación por un golpe de aire seguido de un viento violento. El ruido era tan atronador que por un momento le dejó sordo. Muchos de sus vasos de arcilla bellamente ornamentados fueron barridos de las estanterías y se hicieron añicos contra la pared trasera. Tendido en el suelo en el apartado rincón al que había sido lanzado por el golpe de aire, empezó a recobrar el sentido y vio que la habitación estaba en completo desorden. Quedó horrorizado al ver que una de sus grandes urnas favoritas estaba destrozada y ya no existían los preciosos diseños que tan primorosamente había trabajado.

Am-tep se levantó tambaleándose y al cabo de un rato se acercó de nuevo a la ventana, esta vez con gran agitación, para contemplar de nuevo aquella lejana y terrible escena en medio del mar. Entonces creyó ver una perturbación que se dirigía hacia él, iluminada por ese horno lejano. Parecía una enorme depresión que se movía con rapidez hacia la costa, seguida por un muro de agua que semejaba un acantilado. De nuevo quedó paralizado, observando cómo la ola que se aproximaba alcanzaba proporciones gigantescas. Finalmente, la perturbación llegó a la costa y la parte del mar que había inmediatamente ante él se vació, dejando numerosos barcos encallados en la playa recién formada. Luego la ola acantilado entró en la zona vaciada y la golpeó con terrible violencia. Todos los barcos quedaron hechos pedazos, y muchas casas próximas fueron destruidas en un instante. Aunque el agua alcanzó una gran altura en el espacio que había delante de él, su propia casa se salvó de la destrucción gracias a que estaba situada en un terreno elevado y a gran distancia del mar.

El Gran Palacio también se salvó. Pero Am-tep temía que lo peor estaba por llegar, y tenía razón —aunque no podía imaginar hasta qué punto—. Sabía, no obstante, que ahora no bastaría con ningún sacrificio humano ordinario de un esclavo. Sería necesario algo más para aplacar la ira tempestuosa de ese dios terriblemente enfurecido. Pensó en sus hijos e hijas, y en su nieto recién nacido. Ni siquiera ellos estarían a salvo.

Am-tep estaba en lo cierto al temer nuevos sacrificios humanos. Pronto fueron apresados una joven y un joven de buena cuna, y llevados a un templo cercano, a gran altura en la falda de una montaña. Se estaba procediendo al correspondiente ritual cuando sobrevino otra catástrofe. El suelo tembló con una violencia devastadora, y el techo del templo se vino abajo, matando al instante a todos los sacerdotes y a sus presuntas víctimas sacrificiales. Allí, atrapados en mitad del ritual, ¡yacerían enterrados durante tres mil quinientos años!

La devastación fue espantosa, pero no absoluta. Muchas de las islas donde vivían Am-tep y su pueblo sobrevivieron al terrible terremoto, aunque el Gran Palacio quedó destruido casi por completo. Se reconstruyeron muchas cosas en el curso de los años. Incluso el palacio, construido sobre las ruinas del antiguo, iba a recuperar mucho de su esplendor original. Pese a todo, Am-tep se había jurado abandonar la isla. Su mundo había cambiado irremisiblemente.

En el mundo que él conoció se habían dado mil años de paz, prosperidad y cultura, durante los cuales había reinado la diosa tierra. Había florecido un arte maravilloso. Existía un gran comercio con las islas vecinas. El magnífico Gran Palacio era un enorme y lujoso laberinto, prácticamente una ciudad en sí mismo, adornado con soberbios frescos de animales y plantas. Había agua corriente, un excelente sistema de alcantarillado y cisternas. La guerra era casi desconocida y las defensas innecesarias. Pero ahora Am-tep tenía la sensación de que la diosa tierra había sido derrocada por un ser con valores completamente diferentes.

Pasaron algunos años antes de que Am-tep, acompañado de su familia superviviente, abandonase definitivamente la isla en un barco reconstruido por su hijo más joven, que era un hábil carpintero y marino. El nieto de Am-tep había crecido y se había convertido en un muchacho despierto, interesado en todo lo que le rodeaba. El viaje duró varios días, pero el tiempo era sumamente apacible. Una noche clara, Am-tep estaba explicando a su nieto las figuras que formaban las estrellas cuando le asaltó una extraña idea: Las figuras que formaban las estrellas no habían sufrido la más mínima alteración con respecto a las que eran antes de la catástrofe de la emergencia del terrible demonio.

Am-tep conocía muy bien esas figuras, pues tenía la visión profunda de un artista. Si sus vasijas habían quedado destrozadas y su gran urna se había hecho añicos, pensaba él, ¿no deberían aquellas minúsculas candelas en el cielo haber sido apartadas, aunque fuera ligeramente, de sus posiciones por la violencia de aquella noche? La Luna también había mantenido su cara, igual que antes, y su ruta a través del cielo lleno de estrellas no había cambiado un ápice, hasta donde Am-tep podía afirmar. Durante muchas lunas posteriores a la catástrofe, los cielos habían parecido en efecto diferentes. Hubo oscuridad y nubes extrañas, y la Luna y el Sol habían mostrado a veces colores inusuales. Pero ahora que eso había pasado, sus movimientos parecían ser exactamente los mismos que habían sido antes. Y, de igual forma, las minúsculas estrellas no se habían movido en absoluto.

Si los cielos, que tienen una estatura mucho mayor que la de ese terrible demonio, habían mostrado tan poco interés por la catástrofe, pensó Am-tep, ¿por qué las fuerzas que controlaban al propio demonio habían de mostrar interés por lo que estaba haciendo el pequeño pueblo de la isla, con sus ridículos rituales y sacrificios humanos? Se sintió avergonzado por las absurdas ideas que había tenido entonces, cuando pensó que el demonio podría estar interesado en las sencillas figuras de sus vasijas.

Pero Am-tep seguía preocupado por la pregunta: ¿por qué? ¿Qué profundas fuerzas controlan el comportamiento del mundo, y por qué a veces estallan de formas violentas y aparentemente incomprensibles? Compartía estas preguntas con su nieto, pero no había respuestas.

Pasó un siglo, y luego un milenio, y aún no había respuestas.

Amphos el artesano había vivido toda su vida en el mismo pueblo que su padre, y que el padre de su padre antes de este, y el padre del padre de su padre aun antes de eso. Se ganaba la vida haciendo brazaletes de oro bellamente decorados, pendientes, copas ceremoniales y otros finos productos fruto de sus habilidades artísticas. Ese trabajo había sido la ocupación de la familia durante cuarenta generaciones: una línea ininterrumpida desde que Am-tep se hubiera establecido allí mil cien años antes.

Pero no eran solo las habilidades artísticas las que se habían transmitido de una generación a otra. Las preguntas de Am-tep preocupaban a Amphos como habían preocupado al propio Am-tep en una época anterior. La gran historia de la catástrofe que destruyó a una antigua y pacífica civilización se había transmitido de padres a hijos. La percepción que tuvo Am-tep de la catástrofe también había sobrevivido con sus descendientes. Amphos, asimismo, comprendía que los cielos tenían una magnitud y estatura tan enormes que estarían completamente desinteresados por aquel terrible suceso. En cualquier caso, el suceso había tenido un efecto catastrófico sobre la pequeña población con sus ciudades y sus sacrificios humanos y sus insignificantes rituales religiosos. Por comparación, el propio suceso debía haber sido el resultado de fuerzas enormes completamente indiferentes a tales acciones triviales de los seres humanos. Pero la naturaleza de dichas fuerzas era tan desconocida en la época de Amphos como lo era para Am-tep.

Amphos había estudiado la estructura de las plantas, los insectos y otros pequeños animales, así como de las rocas cristalinas. Su habilidad para la observación también le había sido útil para sus dibujos decorativos. Se interesó por la agricultura y quedó fascinado por el crecimiento del trigo y otras plantas a partir del grano. Pero nada de esto le decía «¿por qué?», y se sentía insatisfecho. Creía que había una razón subyacente en las pautas de la naturaleza, pero no estaba preparado para descubrir dichas razones.

Una noche clara, Amphos levantó la vista al cielo y, a partir de las pautas de las estrellas, trató de construir las figuras de aquellos héroes y heroínas que formaban las constelaciones en el cielo. Para su humilde ojo de artista, los parecidos de aquellas formas eran muy pobres. Él mismo podría haber dispuesto las estrellas de forma mucho más convincente. ¿Por qué los dioses no han dispuesto las estrellas de una forma más adecuada?, se preguntaba. Tal como estaban, las disposiciones se parecían más a granos diseminados, sembrados al azar por un granjero, que a un diseño deliberado de un dios. Entonces le asaltó una extraña idea: No busques razones en las pautas concretas de las estrellas, o en otras disposiciones desordenadas de objetos; busca en su lugar un orden universal más profundo en el comportamiento de los objetos.

Amphos razonaba que, después de todo, no encontramos orden en las figuras que forman las semillas dispersas cuando caen al suelo, sino en la forma milagrosa en que cada una de ellas puede desarrollarse hasta formar una planta viva, con una soberbia estructura, y cada una de ellas similar en los detalles a las demás. Nosotros no trataríamos de buscar significado en las disposiciones de las semillas dispersas en el suelo; pese a todo, debe de haber un significado en el misterio oculto de las fuerzas internas que controlan el crecimiento de cada semilla individual, de tal modo que cada una sigue esencialmente el mismo curso maravilloso. En realidad, las leyes de la naturaleza deben de tener una soberbia precisión para que esto sea posible.

Amphos se convenció de que sin precisión en las leyes subyacentes no podría haber orden en el mundo, mientras que se percibe mucho orden en el comportamiento de las cosas. Más aún, debe haber precisión en nuestros modos de pensar acerca de estas cuestiones si no queremos extraviarnos sin remedio.

Sucedió que Amphos tuvo noticias de un sabio que vivía en otro lugar de la tierra, y cuyas creencias parecían estar en armonía con las suyas. Según este sabio, uno no podía basarse en las enseñanzas y tradiciones del pasado. Para estar seguro de las propias creencias, era necesario llegar a conclusiones precisas mediante el uso de una razón indiscutible. Esta precisión tenía que ser de naturaleza matemática, dependiente en definitiva de la noción de número y su aplicación a las formas geométricas. En consecuencia, debían ser número y geometría, y no mito y superstición, los que gobernaran el comportamiento del mundo.

Igual que había hecho Am-tep once siglos antes, Amphos se hizo a la mar. Encontró su camino a la ciudad de Crotona, donde el sabio y su fraternidad de 571 hombres sabios y 28 mujeres sabias estudiaban en busca de la verdad. Al cabo de un tiempo, Amphos fue aceptado en la fraternidad. El nombre del sabio era Pitágoras.

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Las raíces de la ciencia

1.1. LA BÚSQUEDA DE LAS FUERZAS QUE CONFIGURAN EL MUNDO

¿Qué leyes rigen nuestro universo? ¿Cómo las conoceremos? ¿Cómo puede servirnos este conocimiento para comprender el mundo y con ello orientar sus acciones en nuestro provecho?

Desde los albores de la humanidad, los hombres se han sentido profundamente intrigados por preguntas como estas. Al principio trataron de dar sentido a las fuerzas que controlan el mundo aferrándose al tipo de conocimiento que les era accesible a partir de sus propias vidas. Imaginaban que cualquier cosa o quienquiera que fuera lo que controlaba su entorno lo haría de la misma forma en que ellos se esforzaban para controlar las cosas: originalmente habían creído que su destino estaba bajo la influencia de seres que actuaban de acuerdo con sus propios y variados impulsos humanos. Tales fuerzas impulsoras podían ser el orgullo, el amor, la ambición, la rabia, el miedo, la venganza, la pasión, el castigo, la lealtad o el arte. Por consiguiente, el curso de los fenómenos naturales —como el Sol, la lluvia, las tormentas, el hambre, la enfermedad o la pestilencia— se entendía como el capricho de dioses o diosas motivados por tales impulsos humanos. Y lo único que se podía hacer para influir en estos acontecimientos era apaciguar a las figuras divinas.

Pero poco a poco se empezó a establecer la fiabilidad de otro tipo de pautas. La precisión del movimiento del Sol en el cielo y su evidente relación con la alternancia del día y la noche ofrecía el ejemplo más obvio; pero también la posición del Sol respecto a las estrellas del orbe celeste aparecía estrechamente asociada al cambio y a la implacable regularidad de las estaciones, y a la clara influencia en el clima que la acompañaba y, en consecuencia, en la vegetación y el comportamiento animal. También el movimiento de la Luna parecía firmemente regulado, y sus fases determinadas por su relación geométrica con el Sol. Se advirtió que en aquellos lugares de la Tierra en los que los océanos abiertos se encuentran con la tierra, las mareas tenían una regularidad rígidamente gobernada por la posición (y la fase) de la Luna. Por último, incluso los mucho más complicados movimientos aparentes de los planetas empezaron a ceder sus secretos, revelando una regularidad y una inmensa precisión subyacente. Si los cielos estaban realmente controlados por los caprichos de los dioses, entonces estos mismos dioses parecían estar bajo el hechizo de leyes matemáticas exactas.

Del mismo modo, las leyes que controlaban algunos fenómenos terrestres —tales como los cambios diarios y anuales de temperatura, el flujo y reflujo de los océanos, y el crecimiento de las plantas— que, al menos en ese aspecto, se veían influidos por los cielos, compartían esa misma regularidad matemática que parecía guiar a los dioses. Pero este tipo de relación entre el comportamiento de los cuerpos celestes y los terrestres iba a ser a veces exagerado o mal entendido, e iba a cobrar una importancia desmesurada, que llevaría a las connotaciones ocultas y místicas de la astrología. Pasaron muchos siglos antes de que el rigor del conocimiento científico hiciera posible desenredar las verdaderas influencias de los cielos de las puramente hipotéticas y místicas. Pese a todo, desde los tiempos más remotos había estado claro que aquellas influencias existían realmente y que, en consecuencia, las leyes matemáticas de los cielos debían tener relevancia también aquí en la Tierra.

De forma en apariencia independiente se percibieron otras regularidades en el comportamiento de los objetos terrestres. Una de ellas era la tendencia de todas las cosas en una vecindad a moverse en la misma dirección hacia abajo, bajo la influencia de lo que ahora llamamos gravedad. Se observó que a veces la materia se transformaba de una forma en otra, tal como ocurría en la fusión del hielo o la disolución de la sal, aunque la cantidad total de materia nunca parecía cambiar, lo que refleja la ley que ahora conocemos como conservación de la masa. Además, se advirtió que hay muchos cuerpos materiales con la importante propiedad de que conservan su forma, de donde surgió el concepto de movimiento espacial rígido; y se hizo posible comprender las relaciones espaciales en términos de una geometría precisa y bien definida: la geometría tridimensional que ahora denominamos euclídea. Más aún, la noción de «línea recta» en esta geometría resultó ser la misma que la que proporcionaban los rayos luminosos (o las líneas visuales). Sin duda, había una extraordinaria precisión y belleza en estas ideas, que despertaban una gran fascinación en los antiguos, igual que la despiertan hoy en nosotros.

Sin embargo, y en relación con nuestras vidas cotidianas, las implicaciones de esta precisión matemática para las acciones del mundo parecían con frecuencia poco excitantes y limitadas, pese al hecho de que las propias matemáticas parecían representar una verdad profunda. En consecuencia, en tiempos antiguos muchas personas iban a permitir que su imaginación se dejara llevar por su fascinación por el tema y les condujese mucho más allá de lo que era adecuado. En astrología, por ejemplo, las figuras geométricas también solían generar connotaciones místicas y ocultas, como era el caso de las supuestas potencias mágicas de pentagramas y heptagramas. Y había una supuesta asociación completamente hipotética entre los sólidos platónicos y los estados elementales de la materia (véase la Fig. 1.1). Tardarían muchos siglos en llegar los conocimientos más profundos que tenemos en la actualidad, concernientes a las relaciones reales entre la masa, la gravedad, la geometría, el movimiento planetario y el comportamiento de la luz.

1.2. LA VERDAD MATEMÁTICA

Los primeros pasos hacia una comprensión de las influencias reales que controlan la naturaleza requerían desenredar lo verdadero de lo puramente hipotético. Pero antes de que estuvieran en situación de hacer esto de forma fiable para su conocimiento de la naturaleza, los antiguos necesitaban algo más. Lo primero que tenían que hacer era descubrir la forma de desenredar lo verdadero de lo hipotético en matemáticas. Se necesitaba un procedimiento para decir si se puede confiar o no en la verdad de una afirmación matemática dada. Hasta que no quedara establecida de forma razonable esta cuestión preliminar, habría pocas esperanzas de abordar con seriedad aquellos problemas más difíciles concernientes a las fuerzas que controlan el comportamiento del mundo y cualesquiera que pudieran ser sus relaciones con la verdad matemática. Esta comprensión de que la clave para entender la naturaleza reside en unas matemáticas incuestionables fue quizá el primer avance trascendental en la ciencia.

Aunque ya desde los tiempos antiguos de Egipto y Babilonia se habían supuesto todo tipo de verdades matemáticas, solo cuando los filósofos griegos Tales (c. 625-547 a.C.) y Pitágoras[1][*] de Samos (c. 572-497 a.C.) empezaron a introducir la idea de demostración matemática se colocó la primera piedra fundacional firme del conocimiento matemático —y, por consiguiente, de la propia ciencia—. Quizá fuera Tales el primero en introducir esta idea de demostración, pero parece que fueron los pitagóricos quienes hicieron por primera vez un uso importante de la misma para establecer cosas que, de otro modo, no eran obvias. Parece que Pitágoras también tuvo una fuerte intuición de la importancia del número, y de los conceptos aritméticos, en el gobierno de las acciones del mundo físico. Se dice que un factor importante en esta comprensión fue el darse cuenta de que las armonías más bellas producidas por liras o flautas correspondían a las razones más simples entre las longitudes de las cuerdas vibrantes o los tubos. También se dice que él introdujo la «escala pitagórica», cuyas razones numéricas sabemos ahora que son las frecuencias que determinan los intervalos principales en los que se basa esencialmente la música occidental.[2] El famoso teorema de Pitágoras, que afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, mostró, quizá más que cualquier otra cosa, que existe una relación precisa entre la aritmética de los números y la geometría del espacio físico (véase el capítulo 2).

Pitágoras tuvo un número considerable de seguidores —los pitagóricos— establecidos en la ciudad de Crotona, en lo que hoy es el sur de Italia, pero su influencia en el mundo exterior se vio dificultada por el hecho de que todos los miembros de la fraternidad pitagórica hacían un juramento de secreto. Por ello, casi todas sus conclusiones detalladas se han perdido. De todas formas, algunas de estas conclusiones se filtraron, con consecuencias desafortunadas para los «topos», que, al menos en una ocasión, ¡sufrieron el castigo de morir ahogados!

A la larga, la influencia de los pitagóricos sobre el progreso del pensamiento humano ha sido enorme. Por primera vez, con demostración matemática, era posible hacer afirmaciones significativas de un carácter incuestionable, de modo que seguirían siendo tan verdaderas hoy como en la época en que se hicieron, con independencia de cuánto haya progresado nuestro conocimiento del mundo desde entonces. Empezaba a revelarse la naturaleza verdaderamente intemporal de las matemáticas.

Pero ¿qué es una demostración matemática? En matemáticas, una demostración es un argumento impecable, basado solo en los métodos del razonamiento puramente lógico, que permite inferir la validez de una afirmación matemática dada a partir de la validez preestablecida de otras afirmaciones matemáticas, o de ciertas afirmaciones concretas primitivas —los axiomas— cuya validez se considera evidente. Una vez que tal afirmación matemática ha quedado establecida de esta forma, se conoce como un teorema.

Muchos de los teoremas que interesaban a los pitagóricos eran de naturaleza geométrica; otros eran solo afirmaciones sobre números. Aquellos que concernían puramente a los números tienen hoy una validez inequívoca, igual que la tenían en los tiempos de Pitágoras. ¿Qué ocurre con los teoremas geométricos que los pitagóricos habían obtenido utilizando sus procedimientos de demostración matemática? También estos tienen hoy una clara validez, pero ahora surge una cuestión que complica las cosas. Se trata de una cuestión cuya naturaleza es más obvia para nosotros desde nuestro punto de vista moderno que lo era en el tiempo de Pitágoras. Los antiguos solo conocían un tipo de geometría, a saber, la que ahora llamamos geometría euclídea, pero ahora conocemos otros muchos tipos. Así pues, al considerar los teoremas geométricos de la época griega antigua es importante especificar que la noción de geometría a la que nos referimos es en realidad la geometría de Euclides. (Seré más explícito sobre estas cuestiones en §2.4, donde se dará un ejemplo importante de geometría no euclídea.)

La geometría euclídea es una estructura matemática específica, con sus propios axiomas específicos (incluidas algunas afirmaciones menos seguras conocidas como postulados), que proporciona una excelente aproximación a un aspecto concreto del mundo físico. Este era el aspecto de realidad, muy familiar para los antiguos griegos, que remitía a las leyes que gobiernan la geometría de los objetos rígidos y sus relaciones con otros objetos rígidos cuando se movían en el espacio tridimensional. Algunas de estas propiedades eran tan familiares y autoconsistentes que tendían a ser consideradas como verdades matemáticas «evidentes» y se tomaban como axiomas (o postulados). Como veremos en los capítulos 17-19 y en §§27.8,11, la relatividad general de Einstein —e incluso el espaciotiempo minkowskiano de la relatividad especial— proporciona geometrías para el universo físico que son diferentes de, e incluso más precisas que, la geometría de Euclides, pese al hecho de que la geometría euclídea de los antiguos era ya extraordinariamente precisa. Así pues, a la hora de considerar afirmaciones geométricas debemos tener cuidado si confiamos en los «axiomas» como si fueran, en cualquier sentido, realmente verdaderos.

Pero ¿qué significa «verdadero» en este contexto? La dificultad fue apreciada por el gran filósofo griego Platón, que vivió en Atenas desde c. 429 hasta 347 a.C., aproximadamente un siglo y medio después de Pitágoras. Platón dejó claro que las proposiciones matemáticas —las cosas que podían considerarse como incuestionablemente verdaderas— no se refieren a objetos físicos reales (como los cuadrados, triángulos, círculos, esferas y cubos aproximados que podrían construirse con marcas en la arena, o con piedra o madera), sino a ciertas entidades idealizadas. Él imaginaba que esas entidades ideales habitaban en un mundo diferente, distinto del mundo físico. Hoy día podríamos llamar a este mundo el mundo platónico de las formas matemáticas. Las estructuras físicas, tales como los cuadrados, los círculos o los triángulos recortados en papiro, o marcados en una superficie plana, o quizá los cubos, los tetraedros o las esferas esculpidas en mármol, podrían ajustarse estrechamente a estos ideales, pero solo de forma aproximada. Los cuadrados, cubos, círculos, esferas, triángulos, etc., matemáticos reales no serían parte del mundo físico, sino que serían habitantes del mundo platónico de las formas matemáticas idealizadas.

1.3. ¿ES «REAL» EL MUNDO MATEMÁTICO DE PLATÓN?

Esta era una idea extraordinaria para su época, y ha resultado ser una idea muy fecunda. Pero ¿existe realmente el mundo matemático platónico, en cualquier sentido significativo? Muchas personas, incluidos los filósofos, podrían considerar que un «mundo» semejante es una completa ficción, un mero producto de nuestra imaginación desbordante. Pese a todo, el punto de vista platónico es inmensamente valioso. Nos dice que debemos ser cuidadosos en distinguir las entidades matemáticas precisas de las aproximaciones que vemos a nuestro alrededor en el mundo de los objetos físicos. Más aún, nos proporciona el esquema con el que ha procedido la ciencia desde entonces. Los científicos propondrán modelos del mundo —o, mejor, de ciertos aspectos del mundo— y estos modelos pueden ser puestos a prueba frente a observaciones previas y frente a los resultados de experimentos cuidadosamente diseñados. Los modelos se juzgan apropiados si sobreviven a este examen riguroso y si, además, son estructuras con consistencia interna. Para nuestra discusión actual, el punto importante en estos modelos es que son básicamente modelos matemáticos puramente abstractos. En particular, la cuestión misma de la consistencia interna de un modelo científico requiere que el modelo esté especificado de forma precisa. La precisión requerida exige que el modelo sea matemático, pues de lo contrario no se puede estar seguro de que estas preguntas tengan respuestas bien definidas.

Si hay que atribuir algún tipo de «existencia» al propio modelo, entonces dicha existencia está localizada dentro del mundo platónico de las formas matemáticas. Por supuesto, se podría adoptar un punto de vista opuesto: que el modelo va a tener existencia solo dentro de nuestras diversas mentes, antes que aceptar que el mundo de Platón sea en algún sentido absoluto y «real». Pese a todo, se gana algo importante al considerar que las estructuras matemáticas poseen una realidad por sí mismas. En efecto, nuestras mentes individuales son notoriamente imprecisas, poco fiables e inconsistentes en sus juicios. La precisión, fiabilidad y consistencia que requieren nuestras teorías científicas exige algo más allá de cualquiera de nuestras mentes individuales (poco dignas de confianza). En las matemáticas encontramos una solidez mucho mayor que la que puede localizarse en cualquier mente concreta. ¿No apunta esto a algo exterior a nosotros mismos, con una realidad que está más allá de lo que cada individuo puede alcanzar?

De todas formas, aún se podría adoptar el punto de vista alternativo según el cual el mundo matemático no tiene existencia independiente y consiste meramente en algunas ideas que han sido destiladas de nuestras diversas mentes, que se han mostrado totalmente dignas de confianza y en las que todos coinciden. Pero incluso este punto de vista parece dejarnos muy lejos de lo que se necesita. ¿Queremos decir «en las que todos coinciden», por ejemplo, o «en las que coinciden quienes están en su sano juicio», o «en las que coinciden todos aquellos que tienen un doctorado en matemáticas (poco frecuente en la época de Platón) y que tienen derecho a aventurar una opinión autorizada»? Parece que aquí hay un peligro de circularidad; pues juzgar si alguien está o no «en su sano juicio» requiere algún patrón externo. Lo mismo sucede con el significado de «autorizada», a menos que se adoptara algún canon de naturaleza acientífica tal como la «opinión de la mayoría» (y debería quedar claro que la opinión de la mayoría, por importante que pueda ser para un gobierno democrático, no debería ser utilizada en modo alguno como criterio de aceptabilidad científica). Las propias matemáticas parecen tener realmente una solidez que va mucho más allá de lo que cualquier matemático individual es capaz de percibir. Aquellos que trabajan en esta disciplina, ya estén implicados activamente en la investigación matemática o bien utilicen resultados que han sido obtenidos por otros, sienten normalmente que son meros exploradores de un mundo que está mucho más allá de ellos mismos, un mundo que posee una objetividad que trasciende la mera opinión, ya sea dicha opinión la suya propia o la propuesta de otros, con independencia de cuán expertos pudieran ser esos otros.

Quizá pueda ayudar el que yo plantee de una forma diferente el caso de la existencia real del mundo platónico. Lo que entiendo por esta «existencia» es tan solo la objetividad de la verdad matemática. La existencia platónica, tal como yo la veo, se refiere a la existencia de un canon externo objetivo que no depende de nuestras opiniones individuales ni de nuestra cultura concreta. Tal «existencia» podría también referirse a objetos distintos de las matemáticas, tales como la moralidad o la estética (cf. §1.5), pero aquí estoy interesado solo en la objetividad matemática, que parece ser una cuestión mucho más clara.

Permítaseme ilustrar este punto considerando un ejemplo famoso de verdad matemática, y relacionarlo con la cuestión de la «objetividad». En 1637, Pierre de Fermat hizo su famosa afirmación conocida hoy día como el «último teorema de Fermat» (que ninguna potencia n-ésima[3] positiva de un número entero puede ser la suma de otras dos potencias n-ésimas positivas si n es un número entero mayor que 2), que él escribió en un margen de su copia de la Arithmetica, libro escrito en el siglo III por el matemático griego Diofanto. En este margen, Fermat anotó también: «He encontrado una demostración de esto verdaderamente maravillosa, que no cabe en este estrecho margen». La afirmación matemática de Fermat quedó sin confirmar durante más de trescientos cincuenta años, pese a que aunó los esfuerzos de muchos matemáticos destacados. Finalmente, Andrew Wiles publicó una demostración en 1995 (que se basaba en el trabajo previo de otros matemáticos), y esta demostración ha sido ahora aceptada como un argumento válido por la comunidad matemática.

Ahora bien, ¿aceptamos el punto de vista de que la afirmación de Fermat fue siempre verdadera, mucho antes de que este la hiciera en realidad, o es su validez una cuestión puramente cultural, dependiente de cuáles pudieran ser los cánones subjetivos de la comunidad de matemáticos humanos? Supongamos que la validez de la afirmación de Fermat es, de hecho, una cuestión subjetiva. Entonces no sería un absurdo que un matemático X hubiera dado con un contraejemplo real y concreto de la afirmación de Fermat, siempre que X lo hubiera hecho antes de 1995.[4] En tal caso, la comunidad matemática tendría que aceptar la corrección del contraejemplo de X. A partir de entonces, cualquier esfuerzo por parte de Wiles de demostrar la afirmación de Fermat tendría que ser infructuoso, por la sencilla razón de que X había obtenido su argumento primero y, en vista de ello, ¡la afirmación de Fermat sería ahora falsa! Más aún, podríamos plantear la pregunta adicional acerca de si, de acuerdo con la corrección del contraejemplo que iba a dar X, el propio Fermat habría estado necesariamente equivocado al creer en la validez de su «demostración verdaderamente maravillosa», en el instante en que escribió su nota en el margen. En el punto de vista subjetivo de la verdad matemática hubiera podido darse el caso de que Fermat tuviera una demostración válida (que habría sido aceptada como tal por sus pares en la época, si él la hubiera revelado), ¡y que fue el secretismo de Fermat el que permitió la posibilidad de que X obtuviese más tarde un contraejemplo! Creo que prácticamente todos los matemáticos, con independencia de las actitudes que profesen hacia el «platonismo», considerarán que tales posibilidades son manifiestamente absurdas.

Por supuesto, aún podría darse el caso de que el argumento de Wiles contenga un error y que la afirmación de Fermat fuera en realidad falsa. O que pudiera haber un error fundamental en el argumento de Wiles, pero que la afirmación de Fermat sea en cualquier caso verdadera. O podría ser que el argumento de Wiles sea correcto en sus líneas esenciales aunque contenga «pasos no rigurosos» que no superarían el canon de algunas reglas futuras de aceptabilidad matemática. Pero estas cuestiones no abordan el punto que estoy señalando aquí. La cuestión es la objetividad de la propia afirmación de Fermat, y no si la demostración (o la negación) particular de la misma que hiciera alguien podría resultar convincente para la comunidad matemática de cualquier época concreta.

Quizá habría que mencionar que, desde el punto de vista de la lógica matemática, la afirmación de Fermat es en realidad un enunciado matemático de un tipo particularmente simple,[5] cuya objetividad es especialmente evidente. Solo una pequeñísima minoría de matemáticos[6] consideraría que la verdad de tales afirmaciones es de algún modo «subjetiva» —aunque podría haber cierta subjetividad acerca de los tipos de argumentos que se considerarían convincentes—. Sin embargo, hay otros tipos de afirmaciones matemáticas cuya verdad podría considerarse plausiblemente como una «cuestión de opinión». Tal vez la más conocida de dichas afirmaciones sea el axioma de elección. No es importante, por el momento, que sepamos qué es el axioma de elección. (Lo describiré en §16.3.) Aquí se cita solo como ejemplo. Probablemente la mayoría de los matemáticos considerarán que el axioma de elección es «obviamente verdadero», mientras que otros pueden considerarlo una afirmación algo cuestionable que incluso podría ser falsa (y yo mismo me inclino, en cierta medida, hacia este segundo punto de vista). Otros aún podrían tomarlo como una afirmación cuya «verdad» es una mera cuestión de opinión o, más bien, como algo que puede tomarse de un modo o de otro, dependiendo de a qué sistemas de axiomas y reglas de inferencia (un «sistema formal»; véase §16.6) decida uno adherirse. Los matemáticos que defienden este último punto de vista (pero aceptan la objetividad de la verdad de enunciados matemáticos particularmente nítidos, como la afirmación de Fermat que he mencionado antes) serían platonistas relativamente débiles. Aquellos que se adhieren a la objetividad con respecto a la verdad del axioma de elección serían platonistas más fuertes.

Volveré al axioma de elección en §16.3, pues tiene cierta relevancia para las matemáticas subyacentes en el comportamiento del mundo físico, pese al hecho de que no se aborda mucho en la teoría física. Por el momento será mejor que no nos preocupemos demasiado por esta cuestión. Si el axioma de elección puede ser dilucidado en un sentido u otro mediante alguna forma apropiada de razonamiento matemático incuestionable,[7] entonces su verdad es en realidad una cuestión totalmente objetiva, y o bien el axioma pertenece al mundo platónico o bien lo hace su negación, en el sentido en que estoy interpretando este «mundo platónico». Si, por el contrario, el axioma de elección es una simple cuestión de opinión o de decisión arbitraria, entonces el mundo platónico de las formas matemáticas absolutas no contiene axioma de elección ni su negación (aunque podría contener afirmaciones de la forma «tal y cual se sigue del axioma de elección», o «el axioma de elección es un teorema de acuerdo con las reglas de tal y cual sistema matemático»).

Los enunciados matemáticos que pueden pertenecer al mundo de Platón son precisamente aquellos que son objetivamente verdaderos. De hecho, yo consideraría que la objetividad matemática es realmente el objeto del platonismo matemático. Decir que una afirmación matemática tiene una existencia platónica es sencillamente decir que es verdadera en un sentido objetivo. Un comentario similar es aplicable a las nociones matemáticas —tales como el concepto del número 7, por ejemplo, o la regla para la multiplicación de números enteros, o la idea de que cierto conjunto contiene infinitos elementos—, todas las cuales tienen una existencia platónica porque son nociones objetivas. En mi opinión, la existencia platónica es simplemente una cuestión de objetividad y, en consecuencia, no debería verse como algo «místico» o «acientífico», pese a que así la consideran algunos.

No obstante, como sucede con el axioma de elección, las preguntas acerca de si debe considerarse o no que cierta propuesta concreta de una entidad matemática tiene una existencia objetiva pueden ser delicadas y a veces muy técnicas. Pese a ello, ciertamente no necesitamos ser matemáticos para apreciar la solidez general de muchos conceptos matemáticos. En la Fig. 1.2 he representado varias porciones pequeñas de esa famosa entidad matemática conocida como el conjunto de Mandelbrot. El conjunto tiene una estructura extraordinariamente complicada, pero no se debe a ningún diseño humano. Lo realmente notable es que esta estructura está definida por una regla matemática particularmente simple. Llegaremos a ella explícitamente en §4.5, pues nos distraeríamos de nuestros propósitos actuales si tratase ahora de ofrecer esta regla en detalle.

El punto que deseo señalar es que nadie, ni siquiera el propio Mandelbrot cuando vio por primera vez las increíbles complicaciones en los detalles finos del conjunto, tuvo ninguna preconcepción real de la extraordinaria riqueza del conjunto. El conjunto de Mandelbrot no fue invención de ninguna mente humana: sencillamente, está ahí de manera objetiva, en las propias matemáticas. Si tiene significado atribuir una existencia real al conjunto de Mandelbrot, entonces dicha existencia no está dentro de nuestras mentes, pues nadie puede abarcar por completo la inacabable variedad y la ilimitada complejidad del conjunto. Y su existencia tampoco puede residir dentro de la multitud de representaciones gráficas impresas por un computador que empiezan a captar algo de su increíble sofisticación y detalle, pues, en el mejor de los casos, tales representaciones gráficas recogen tan solo una sombra de una aproximación al propio conjunto. Pese a todo, tiene una solidez que está más allá de cualquier duda, pues la misma estructura se revela —en todos sus detalles perceptibles, con finura cada vez mayor cuanto más de cerca se examina— independientemente del matemático o computador que la examine. Su existencia solo puede estar dentro del mundo platónico de las formas matemáticas.

Soy consciente de que aún habrá muchos lectores que encuentren difícil atribuir cualquier tipo de existencia real a las estructuras matemáticas. Rogaría a tales lectores que amplíen su idea de lo que la palabra «existencia» puede significar para ellos. Las formas matemáticas del mundo de Platón no tienen evidentemente el mismo tipo de existencia que los objetos físicos ordinarios tales como las mesas y las sillas. No tienen localización espacial; no existen en el tiempo. Hay que pensar en las nociones matemáticas objetivas como entidades intemporales, y no debe considerarse que nacieron en el instante en que fueron humanamente percibidas por primera vez. Las espirales concretas del conjunto de Mandelbrot que se muestran en las Figs. 1.2c o 1.2d no alcanzaron su existencia en el instante en que se vieron por primera vez en la pantalla o la impresora de un computador. Ni surgieron cuando la idea general que hay tras el conjunto de Mandelbrot fue propuesta por primera vez por un ser humano —no por Mandelbrot, tal como sucedió, sino por R. Brooks y J. P. Matelski, en 1981, o quizá antes—. Pues ciertamente ni Brooks ni Matelski, ni siquiera al principio el propio Mandelbrot, tenían ninguna concepción real de los diseños detallados y complicados que vemos en las Figs. 1.2c y 1.2d. Dichos diseños ya «existían» desde el principio de los tiempos, en el sentido potencial e intemporal con que necesariamente se iban a revelar en la forma exacta en que hoy los percibimos, con independencia de qué momento o qué lugar eligiera cualquier ser perceptivo para examinarlos.

1.4. TRES MUNDOS Y TRES PROFUNDOS MISTERIOS

Así pues, la existencia matemática es diferente no solo de la existencia física, sino también de una existencia que es atribuida por nuestras percepciones mentales. Pese a todo, hay una conexión misteriosa y profunda con cada una de esas otras dos formas de existencia: la física y la mental. En la Fig. 1.3 he mostrado de manera esquemática estas tres formas de existencia —la física, la mental y la matemático-platónica— como entidades que pertenecen a tres «mundos» separados, representados esquemáticamente como esferas. También están indicadas las misteriosas conexiones entre los mundos, y al dibujar el diagrama he impuesto al lector algunas de mis creencias, o prejuicios, acerca de tales misterios.

Con respecto al primero de esos misterios —que relaciona el mundo matemático-platónico con el mundo físico—, puede advertirse que estoy admitiendo que solo una pequeña parte del conjunto de las matemáticas tiene que tener relevancia para el funcionamiento del mundo físico. Sucede ciertamente que la gran mayoría de las actividades actuales de los matemáticos puros no tienen una conexión obvia con la física, ni con ninguna otra ciencia (cf. §34.9), aunque con frecuencia nos veamos sorprendidos por aplicaciones importantes e inesperadas. Análogamente, en relación con el segundo misterio, por el que la mentalidad entra en asociación con ciertas estructuras físicas (más concretamente, los cerebros humanos vivos, sanos y despiertos), no estoy insistiendo en que la mayoría de las estructuras físicas tengan que inducir mentalidad. Aunque el cerebro de un gato puede evocar realmente cualidades mentales, no estoy exigiendo lo mismo de una piedra. Por último, respecto al tercer misterio, ¡considero evidente que solo una pequeña fracción de nuestra actividad mental tiene que estar interesada en la verdad matemática absoluta! (Es más probable que estemos interesados en las múltiples irritaciones, placeres, preocupaciones, emociones y sensaciones por el estilo que llenan nuestras vidas cotidianas.) Estos tres hechos están representados en el pequeño tamaño de la base de la conexión de cada mundo con el siguiente, tomando los mundos del diagrama en el sentido de las agujas del reloj. Sin embargo, es en el hecho de englobar cada mundo entero dentro del ámbito de su conexión con el mundo que le precede donde estoy mostrando mis propios prejuicios.

Así pues, según la Fig. 1.3, todo el mundo físico se representa gobernado de acuerdo con leyes matemáticas. En capítulos posteriores veremos que hay una evidencia muy fuerte (aunque incompleta) que apoya esta opinión. Desde este punto de vista, todo lo que hay en el universo físico está realmente gobernado en todos sus detalles por principios matemáticos, quizá por ecuaciones, tales como las que trataremos en los capítulos que siguen, o quizá por algunas nociones matemáticas futuras fundamentalmente diferentes de aquellas que hoy etiquetamos con el término «ecuaciones». Si esto es así, entonces incluso nuestras propias acciones físicas estarían enteramente sujetas a semejante control matemático último, donde «control» podría admitir todavía cierto comportamiento aleatorio gobernado por principios probabilistas estrictos.

Muchas personas se sienten incómodas con este tipo de ideas, y debo confesar que a mí también me producen cierta desazón. De todas formas, mis prejuicios personales están realmente a favor de un punto de vista de este carácter general, puesto que es difícil ver cómo podría trazarse una línea que separe las acciones físicas bajo control matemático de aquellas que pudieran estar más allá de él. A mi modo de ver, la desazón que muchos lectores puedan compartir conmigo acerca de esta cuestión surge en parte de una noción muy limitada de lo que pudiera entrañar el «control matemático». Parte del objetivo de este libro es señalar, y revelar al lector, algo de la extraordinaria riqueza, poder y belleza que pueden brotar una vez que se ha dado con las nociones matemáticas correctas.

Ya en el conjunto de Mandelbrot, tal como se ilustra en la Fig. 1.2, podemos empezar a vislumbrar el alcance y la belleza inherentes en tales objetos. Pero incluso estas estructuras habitan en un rincón muy limitado del conjunto de las matemáticas, donde el comportamiento está gobernado por un control computacional estricto. Más allá de este rincón, hay una increíble riqueza potencial. ¿Cómo me siento realmente al considerar la posibilidad de que todas mis acciones, y las de mis amigos, estén gobernadas, en última instancia, por principios matemáticos de este tipo? Puedo aceptarlo. De hecho, preferiría que estas acciones estuviesen controladas por algo que residiera en algún aspecto semejante del fabuloso mundo matemático de Platón a que estuvieran sujetas al tipo de motivos primarios simples, tales como la búsqueda del placer, la codicia personal o la violencia agresiva, que muchos argumentarán que son las consecuencias de una posición estrictamente científica.

Pese a todo, imagino que muchos lectores seguirán teniendo dificultades para aceptar que tales acciones en el universo puedan estar enteramente sujetas a leyes matemáticas. Análogamente, muchos podrán poner objeciones a otros dos de mis prejuicios que están implícitos en la Fig. 1.3. Podrían pensar, por ejemplo, que estoy adoptando una actitud científica demasiado fría al dibujar mi diagrama de una forma que implica que toda mentalidad tiene sus raíces en la fisicidad. Esto es en realidad un prejuicio, pues aunque es cierto que no tenemos evidencia científica razonable de la existencia de «mentes» que no tengan una base física, no podemos estar completamente seguros de ello. Más aún, muchas personas con convicciones religiosas defenderán con vehemencia la posibilidad de mentes independientes de lo físico, y podrían apelar a lo que ellos consideran evidencia poderosa de un tipo diferente de la que se revela por la ciencia ordinaria.

Otro de mis prejuicios se refleja en el hecho de que en la Fig. 1.3 he representado todo el mundo platónico dentro del ámbito de la mentalidad. Con esto pretendo indicar que, al menos en principio, no hay verdades matemáticas que estén más allá del alcance de la razón. Por supuesto, hay enunciados matemáticos (incluso simples sumas aritméticas) que son tan enormemente complicados que nadie podría tener la fortaleza mental para llevar a cabo el razonamiento necesario. Sin embargo, tales objetos estarían potencialmente dentro del alcance de la mentalidad (humana), y serían compatibles con el significado de la Fig. 1.3, tal y como he pretendido representar. En cualquier caso, uno debe considerar que podría haber otros enunciados matemáticos que están incluso fuera del alcance potencial de la razón, y estos violarían la pretensión que hay tras la Fig. 1.3. (Esta cuestión será considerada más extensamente en §16.6, donde se examinará su relación con el famoso teorema de la incompletitud de Gödel.)[8]

En la Fig. 1.4, y como concesión a aquellos que no comparten todos mis prejuicios personales sobre estas cuestiones, he vuelto a dibujar las conexiones entre los tres mundos para admitir las tres posibles violaciones de mis prejuicios. En consecuencia, ahora se tiene en cuenta la posibilidad de acción física más allá del alcance del control matemático. El diagrama admite también la creencia de que pudiera haber mentalidad que no estuviera enraizada en estructuras físicas. Finalmente, permite la existencia de enunciados matemáticos verdaderos cuya verdad es en principio inaccesible mediante la razón y la intuición.

Esta imagen ampliada presenta otros misterios potenciales que van incluso más allá de aquellos que he admitido en mi imagen favorita del mundo, como se representa en la Fig. 1.3. En mi opinión, el punto de vista científico más firmemente organizado de la Fig. 1.3 tiene suficientes misterios. Estos misterios no desaparecen al pasar al esquema más relajado de la Fig. 1.4, pues sigue siendo un profundo enigma por qué tendrían que aplicarse las leyes matemáticas al mundo físico con tan extraordinaria precisión. (Vislumbraremos algo de la extraordinaria exactitud de las teorías físicas básicas en §19.8, §26.7 y §27.13.) Además, no es solo la precisión, sino también la sofisticación sutil y la belleza matemática de estas acertadas teorías lo que es profundamente misterioso. Hay asimismo un profundo e indudable misterio en cómo puede llegar a suceder que la materia física adecuadamente organizada —y aquí me refiero en concreto a cerebros humanos (o animales) vivos— pueda evocar de algún modo la cualidad mental del conocimiento consciente. Por último, hay también un misterio en cómo percibimos la verdad matemática. No se trata solamente de que nuestros cerebros estén programados para «calcular» de manera fiable. Hay algo mucho más profundo que eso en las intuiciones que incluso los más humildes de entre nosotros tenemos cuando apreciamos, por ejemplo, los significados reales de los términos «cero», «uno», «dos», «tres», «cuatro», etc.[9]

Algunas de las cuestiones que surgen en conexión con este tercer misterio serán objeto de nuestro interés en el capítulo siguiente (y más explícitamente en §§16.5,6) en relación con la noción de demostración matemática. Pero el impulso principal de este libro tiene que ver con el primero de estos misterios: la notable relación entre las matemáticas y el comportamiento real del mundo físico. No se puede alcanzar una apreciación adecuada del extraordinario poder de la ciencia moderna sin al menos cierta familiaridad con estas ideas matemáticas. Sin duda, muchos lectores pueden asustarse ante la perspectiva de tener que entender semejantes matemáticas para llegar a esta apreciación. Pese a todo, soy optimista, y creo que quizá se darán cuenta de que estas cosas no son tan terribles como ellos temen. Más aún, espero poder persuadir a muchos lectores de que, pese a lo que hayan podido creer previamente, ¡las matemáticas pueden ser divertidas!

Aquí no me interesaré especialmente por el segundo de los misterios mostrados en las Figs. 1.3 y 1.4, a saber, la cuestión de cómo la mentalidad —más en concreto, el conocimiento consciente— puede darse en asociación con estructuras físicas apropiadas (aunque tocaré esta profunda cuestión en §34.7). Tendremos ocupación más que suficiente en la exploración del universo físico y sus leyes matemáticas asociadas. Además, las cuestiones concernientes a la mentalidad son profundamente controvertidas, y si nos concentráramos en ellas nos distraería del objetivo de este libro. Sin embargo, quizá no esté de más hacer algún comentario. En mi opinión, se trata de que hay pocas posibilidades de que podamos tener una profunda comprensión de la naturaleza de la mente sin que antes aprendamos mucho más sobre las bases mismas de la realidad física. Como quedará claro en las discusiones que presentaré en capítulos posteriores, creo que se requieren revoluciones importantes en nuestra comprensión física. Hasta que no se hayan producido tales revoluciones, es muy optimista esperar que puedan hacerse demasiados progresos reales en la comprensión de la naturaleza real de los procesos mentales.[10]

1.5. LO BUENO, LO VERDADERO Y LO BELLO

En relación con esto, hay otra serie de cuestiones planteadas por las Figs. 1.3 y 1.4. He tomado la noción de Platón de un «mundo de formas ideales» solo en el sentido limitado de formas matemáticas. Las matemáticas se interesan crucialmente en el ideal concreto de verdad. El propio Platón habría insistido en que hay otros dos ideales fundamentales y absolutos, a saber, los de lo bello y lo bueno. No me niego ni mucho menos a admitir la existencia de tales ideales y a permitir que se amplíe el mundo platónico para contener absolutos de esta naturaleza.

De hecho, más adelante encontraremos algunas notables interrelaciones entre verdad y belleza que iluminan y confunden a la vez las cuestiones del descubrimiento y la aceptación de las teorías físicas (véase §§34.2, 3,9 en particular; véase también la Fig. 34.1). Más aún, aparte del indudable (aunque a menudo ambiguo) papel de la belleza en las matemáticas subyacentes en las acciones del mundo físico, los criterios estéticos son fundamentales para el desarrollo de ideas matemáticas por sí mismas, al aportar tanto el impulso hacia el descubrimiento como una poderosa guía a la verdad. Incluso conjeturaría que un elemento importante en la convicción común que tienen los matemáticos en que un mundo platónico externo tiene una existencia independiente de nosotros mismos procede de la extraordinaria e inesperada belleza oculta que tan a menudo revelan las ideas mismas.

De relevancia menos obvia aquí —pero de evidente importancia en un contexto más amplio— es la cuestión de un ideal absoluto de moralidad: ¿qué es bueno y qué es malo, y cómo perciben nuestras mentes dichos valores? La moralidad tiene una profunda conexión con el mundo mental, puesto que está íntimamente relacionada con los valores asignados por seres conscientes y, lo que es más importante, con la presencia misma de la propia consciencia. Es difícil ver qué podría significar la moralidad en ausencia de seres conscientes. A medida que progresan la ciencia y la tecnología, se hace cada vez más relevante una comprensión de las circunstancias físicas bajo las que se manifiesta la mentalidad. Creo que, en la cultura tecnológica de hoy día, es más importante que nunca que las cuestiones científicas no se separen de sus implicaciones morales. Pero estas cuestiones nos alejarían demasiado del alcance inmediato de este libro. Necesitamos abordar la cuestión de separar lo verdadero de lo falso antes de que podamos intentar de forma adecuada una aplicación de tal comprensión a separar el bien del mal.

Por último, hay otro misterio concerniente a la Fig. 1.3 que he dejado para el final. He dibujado deliberadamente la figura para ilustrar una paradoja. ¿Cómo es posible que, de acuerdo con mis prejuicios, cada mundo parezca englobar al siguiente en su totalidad? No creo que esto sea una razón para abandonar mis prejuicios, sino meramente para demostrar la presencia de un misterio aún más profundo que trasciende a aquellos que he señalado antes. Quizá haya un sentido en el que los tres mundos no sean en absoluto independientes, sino que meramente reflejen, individualmente, aspectos de una verdad más profunda sobre el mundo como un todo de la que tenemos muy poca idea en el momento presente. Tenemos un largo camino que recorrer antes de que tales cuestiones puedan ser iluminadas adecuadamente.

Me he permitido alejarme demasiado de las cuestiones centrales que nos interesarán en este libro. El objetivo principal de esta sección ha sido el de acentuar la importancia capital que tienen las matemáticas en la ciencia, tanto antigua como moderna. Echemos ahora una ojeada al mundo de Platón, al menos a una parte relativamente pequeña pero importante de dicho mundo, de especial relevancia para la naturaleza de la realidad física.

Notas

Sección 1.2

1.1. Por desgracia, no se conoce casi nada fiable sobre Pitágoras, su vida, sus seguidores o su trabajo, aparte de su existencia misma y el reconocimiento por parte de Pitágoras del papel de las razones simples en la armonía musical. Véase Burkert (1972). Pese a todo, muchas cosas de gran importancia se atribuyen habitualmente a los pitagóricos. En consecuencia, utilizaré el término «pitagórico» solo como una etiqueta, sin ninguna pretensión de exactitud histórica.

1.2. Esta es la «escala diatónica» pura en la que las frecuencias (inversamente proporcionales a las longitudes de los elementos vibrantes) están en las razones 24 : 27 : 30 : 32 : 36 : 40 : 45 : 48, que presentan muchos casos de razones simples, que subyacen a las armonías que resultan agradables al oído. Las «teclas blancas» de un piano moderno están afinadas (siguiendo un compromiso entre la pureza pitagórica de la armonía y la facilidad de los cambios de clave) como aproximaciones a estas razones pitagóricas, según la escala uniformemente temperada, con frecuencias relativas 1 : α² : α⁴ : α⁵ : α⁷ : α⁹ : α¹¹ : α¹², donde α = = 1,05946… (Nota: α⁵ significa la quinta potencia de α, i. e. α × α × α × α × α. La cantidad es la raíz duodécima de 2, que es el número cuya duodécima potencia es 2, i. e. 2^1/12, de modo que α¹² = 2. Véanse la nota 1.3 y §5.2.)

Sección 1.3

1.3. Recuérdese de la nota 1.2 que la potencia n-ésima de un número es dicho número multiplicado por sí mismo n veces. Así, la tercera potencia de 5 es 125, y se escribe 5³ = 125; la cuarta potencia de 3 es 81, escrito 3⁴ = 81; etc.

1.4. De hecho, mientras Wiles estaba tratando de corregir una «laguna» en su demostración del último teorema de Fermat que se había hecho evidente tras su presentación inicial en Cambridge en junio de 1993, se extendió por la comunidad matemática el rumor de que el matemático Noam Elkies había encontrado un contraejemplo de la afirmación de Fermat. Previamente, en 1988, Elkies había hallado un contraejemplo de la conjetura de Euler —que no hay soluciones enteras de la ecuación x⁴ + y⁴ + z⁴ = w⁴—, demostrando con ello que era falsa. No era inverosímil, por consiguiente, que él hubiera demostrado que la afirmación también fuera falsa. Sin embargo, el correo electrónico que inició el rumor tenía fecha de 1 de abril y se descubrió que era una broma de Henri Darmon; véase Singh (1997), p. 293.[*]

1.5. Técnicamente es una ∏₁-sentencia; véase §16.6.

1.6. Me doy cuenta de que, en cierto sentido, estoy cayendo en mi propia trampa al hacer una afirmación semejante. No se trata en realidad de si los matemáticos que adoptan un punto de vista tan extremadamente subjetivo constituyen una pequeñísima minoría o no (y la verdad es que no he realizado una encuesta fiable entre los matemáticos sobre este punto); de lo que se trata es de si una posición tan extrema debe tomarse realmente en serio. Dejo esto a juicio del lector.

1.7. Quizá algunos lectores conozcan los resultados de Gödel y Cohen, según los cuales el axioma de elección es independiente de los axiomas más básicos de la teoría de conjuntos estándar (el sistema axiomático de Zermelo-Frankel). Debería quedar claro que el argumento de Gödel-Cohen no establece por sí mismo que el axioma de elección nunca será dilucidado en un sentido o en otro. Este punto es resaltado, por ejemplo, en la sección final del libro de Paul Cohen (Cohen, 1966, cap. 14, §13), salvo que Cohen está más interesado de forma explícita en la hipótesis del continuo que en el axioma de elección; véase §16.5.

Sección 1.4

1.8. Quizá se da aquí la ironía de que un antiplatónico hecho y derecho, que crea que las matemáticas están «todas en la mente», también debe creer —así parece— que no hay enunciados matemáticos verdaderos que estén en principio más allá de la razón. Por ejemplo, si el último teorema de Fermat hubiera sido inaccesible (en principio) a la razón, entonces esta visión antiplatónica no admitiría la validez de su verdad ni de su falsedad, ya que tal validez solamente viene del acto mental de percibir una demostración o una refutación.

1.9. Véase, por ejemplo, Penrose (1997b).

1.10. Mis propias ideas sobre el tipo de cambio que será necesario en nuestra visión del mundo física para que pueda acomodarse la mentalidad consciente se exponen en Penrose (1989, 1994, 1997a, 1997b).

2

Un teorema antiguo y una pregunta moderna

2.1. EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Consideremos la cuestión de la geometría. ¿Cuáles son, realmente, los diferentes «tipos de geometría» a los que he aludido en el capítulo anterior? Para abordar esta cuestión, volveremos a nuestro encuentro con Pitágoras y consideraremos el famoso teorema que lleva su nombre:[1] para cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados (Fig. 2.1). ¿Qué razones tenemos para creer que esta afirmación es cierta? ¿Cómo podemos «demostrar» realmente el teorema de Pitágoras? Se conocen muchos argumentos. Quiero considerar dos de ellos, elegidos por su especial transparencia, que ponen el acento en puntos diferentes.

En cuanto al primero, consideremos la estructura que se ilustra en la Fig. 2.2. Está compuesta enteramente por cuadrados de dos tamaños diferentes. Puede considerarse «obvio» que esta estructura puede prolongarse indefinidamente y que el plano entero queda así recubierto de forma regular y repetitiva, sin huecos ni solapamientos, por cuadrados de estos dos tamaños. La naturaleza repetitiva de esta estructura se hace manifiesta por el hecho de que si marcamos los centros de los cuadrados más grandes, dichos centros constituyen los vértices de otro sistema de cuadrados, de un tamaño algo mayor que cualquiera de los otros, pero inclinados en un cierto ángulo respecto a los originales (Fig. 2.3) y que por sí solos recubrirán el plano entero. Cada uno de estos cuadrados inclinados tiene exactamente las mismas marcas, de modo que las líneas interiores de estos cuadrados encajan para formar la estructura de dos cuadrados original. Lo mismo se aplicaría si, en lugar de tomar los centros de los cuadrados más grandes de entre los dos tipos de cuadrados de la estructura original, elegimos cualquier otro punto, junto con su conjunto de puntos correspondientes a lo largo de toda la estructura. La nueva estructura de cuadrados inclinados es exactamente la misma que antes pero desplazada sin rotación —i.e., mediante un movimiento que se conoce como una traslación—. Por simplicidad, podemos escoger ahora nuestro punto de partida en una de las esquinas de la estructura original (véase la Fig. 2.4).

Debería quedar claro que el área del cuadrado inclinado debe ser igual a la suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños: de hecho, para cualquier punto de partida de los cuadrados inclinados, las piezas en que el cuadrado mayor queda subdividido por las líneas interiores pueden ser desplazadas sin rotación hasta que encajen para formar los dos cuadrados más pequeños (por ejemplo, la Fig. 2.5). Además, resulta evidente de la Fig. 2.4 que la longitud del lado del cuadrado inclinado grande es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos otros dos lados tienen longitudes iguales a los lados de los dos cuadrados más pequeños. Hemos establecido así el teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

El argumento anterior proporciona los elementos esenciales de una demostración sencilla de este teorema y, además, nos ofrece una «razón» para creer que el teorema tiene que ser verdadero, lo que quizá no fuera tan obvio en el caso de un argumento más formal construido mediante una sucesión de pasos lógicos sin un motivo claro. Sin embargo, habría que señalar que en este argumento han intervenido varias hipótesis implícitas. Una de ellas, y no la menos importante, es la hipótesis de que la estructura en apariencia obvia de cuadrados repetidos que se muestra en la Fig. 2.2 o incluso en la Fig. 2.6 es geométricamente posible —o incluso, y más críticamente, ¡que un cuadrado es algo geométricamente posible!—. Después de todo, ¿qué entendemos por un «cuadrado»? Normalmente pensamos en un cuadrado como una figura plana cuyos lados son todos iguales y cuyos ángulos son todos rectos. ¿Qué es un ángulo recto? Bien, podemos imaginar dos líneas rectas que se cortan en un punto formando cuatro ángulos que son todos iguales. Cada uno de estos ángulos iguales es entonces un ángulo recto.

Tratemos ahora de construir un cuadrado. Tomemos tres segmentos de recta iguales AB, BC y CD, donde ABC y BCD son ángulos rectos, y D y A están en el mismo lado de la línea BC, como en la Fig. 2.7. Surge la pregunta: ¿tiene AD la misma longitud que los otros tres segmentos? Más aún: ¿son los ángulos DAB y CDA también ángulos rectos? Estos ángulos deberían ser iguales entre sí por la simetría izquierda-derecha de la figura, pero ¿son realmente ángulos rectos? El hecho de que lo sean solo parece obvio a causa de nuestra familiaridad con los cuadrados, o quizá porque podemos recordar de nuestros días escolares alguna proposición de Euclides que puede ser utilizada para deducir que los lados BA y CD tendrían que ser «paralelos» entre sí, y alguna proposición acerca de que cualquier recta «transversal» a un par de paralelas tiene que formar ángulos correspondientes iguales allí donde corta a las dos paralelas. De esto se sigue que el ángulo DAB tendría que ser igual al ángulo complementario de ADC (i.e., al ángulo EDC, en la Fig. 2.7, siendo ADE una recta) además de ser, como se ha señalado antes, igual al ángulo ADC. Un ángulo (ADC) solo puede ser igual a su complementario (EDC) si es un ángulo recto. Debemos demostrar también que el lado AD tiene la misma longitud que BC, pero ahora esto se sigue también, por ejemplo, de las propiedades de las rectas transversales a las paralelas BA y CD. Por lo tanto, es cierto que a partir de un argumento euclídeo de este tipo podemos demostrar que realmente sí existen cuadrados hechos de ángulos rectos. Pero aquí se esconde una cuestión profunda.

2.2. LOS POSTULADOS DE EUCLIDES

Al construir su noción de geometría, Euclides puso mucho cuidado en ver de qué hipótesis dependía su demostración.[2] En particular, tuvo cuidado en hacer una distinción entre ciertas afirmaciones llamadas axiomas —que se tomaban como verdades autoevidentes, y que básicamente eran definiciones de lo que él entendía por puntos, líneas, etc.— y los cinco postulados, que eran hipótesis cuya validez parecía menos segura, pero que parecían ser ciertas para la geometría de nuestro mundo. La última de estas hipótesis, conocida como el quinto postulado de Euclides, se consideraba menos obvia que las otras, y durante varios siglos se tuvo la sensación de que debería ser posible encontrar una forma de demostrarla a partir de los otros postulados más evidentes. El quinto postulado de Euclides se conoce habitualmente como el postulado de las paralelas, y yo seguiré esta práctica aquí.

Antes de discutir el postulado de las paralelas, vale la pena señalar la naturaleza de los otros cuatro postulados de Euclides. Los postulados conciernen a la geometría del plano (euclídeo), aunque Euclides también consideró el espacio tridimensional en sus obras posteriores. Los elementos básicos de su geometría plana son puntos, líneas rectas y círculos. Aquí consideraré que una «línea recta» (o simplemente una «recta») se extiende indefinida en ambas direcciones; si no es así, me referiré a un «segmento de recta». El primer postulado de Euclides afirma, en efecto, que existe un (único) segmento de recta que conecta dos puntos cualesquiera. Su segundo postulado afirma la prolongabilidad ilimitada de cualquier segmento de recta. Su tercer postulado afirma la existencia de un círculo con un centro cualquiera y con cualquier valor para su radio. Finalmente, su cuarto postulado afirma la igualdad de todos los ángulos rectos.[3]

Desde una perspectiva moderna, algunos de estos postulados parecen un poco extraños, en particular el cuarto, pero debemos tener en cuenta el origen de las ideas que subyacen en la geometría de Euclides. Él estaba interesado básicamente en el movimiento de cuerpos rígidos idealizados y la noción de congruencia que se manifestaba cuando uno de tales cuerpos rígidos idealizados se movía hasta coincidir con otro. La igualdad entre un ángulo recto en un cuerpo y un ángulo en otro cuerpo tenía que ver con la posibilidad de mover un cuerpo de modo que las líneas que formaban su ángulo recto coincidieran con las líneas que formaban el ángulo recto en el otro. De hecho, el cuarto postulado está afirmando la isotropía y la homogeneidad del espacio, de modo que una figura en un lugar podría tener la «misma» (i.e., congruente) forma geométrica que una figura en otro lugar. Los postulados segundo y tercero expresan la idea de que el espacio es indefinidamente prolongable y sin «huecos» en su interior, mientras que el primero expresa la naturaleza básica de un segmento de línea recta. Aunque Euclides consideraba la geometría de un modo bastante diferente de como la consideramos hoy, sus cuatro primeros postulados recogen básicamente nuestra noción actual de un espacio métrico (bidimensional) con completa homogeneidad e isotropía, e infinito en extensión. De hecho, semejante imagen parece estar en estrecho acuerdo con la naturaleza espacial a muy gran escala del universo real, de acuerdo con la cosmología moderna, como veremos en §27.11 y §28.10.

¿Cuál es, entonces, la naturaleza del quinto postulado de Euclides, el postulado de las paralelas? Tal como Euclides formulaba esencialmente dicho postulado, este afirma que si dos segmentos de recta a y b en un plano cortan a otra línea recta c (de modo que c es lo que se denomina transversal a a y b) de tal forma que la suma de los ángulos interiores en el mismo lado de c es menor que dos ángulos rectos, entonces a y b, cuando se prolongan a suficiente distancia en ese lado de c, se cortarán en alguna parte (véase la Fig. 2.8a). Una forma equivalente de este postulado (a veces conocida como axioma de Playfair) afirma que, para cualquier línea recta y para cualquier punto que no esté en dicha línea, existe una única línea recta que pasa por dicho punto y es paralela a la primera recta (véase la Fig. 2.8b). Aquí, rectas «paralelas» serían dos líneas rectas coplanares que no se cortan (y recordemos que mis «rectas» son entidades completamente prolongadas, y no los «segmentos de línea recta» de Euclides.[2.1]

Una vez que tenemos el postulado de las paralelas, podemos proceder a establecer la propiedad necesaria para la existencia de un cuadrado. Si una recta transversal a un par de líneas rectas corta a estas de modo que los ángulos internos a un lado de la transversal suman dos ángulos rectos, entonces se puede demostrar que las líneas que forman el par son realmente paralelas. Además, se sigue inmediatamente que cualquier otra transversal al par tiene exactamente la misma propiedad angular. Esto es lo que necesitábamos para el argumento dado antes para la construcción de nuestro cuadrado. Vemos que es precisamente el postulado de las paralelas el que debemos utilizar para demostrar que nuestra construcción da realmente un cuadrado, con todos sus ángulos rectos y todos sus lados iguales. Sin el postulado de las paralelas no podemos establecer que existen realmente los cuadrados (en el sentido habitual de tener todos sus ángulos rectos).

Puede parecer que es una mera cuestión de pedantería matemática el preocuparse por cuáles son exactamente las hipótesis necesarias para proporcionar una «prueba rigurosa» de la existencia de un objeto tan obvio como un cuadrado. ¿Por qué deberíamos interesarnos en cuestiones tan pedantes, cuando un «cuadrado» es simplemente esa figura familiar que todos conocemos? Bien, pronto veremos que Euclides dio realmente pruebas de una extraordinaria perspicacia al preocuparse por tales cuestiones. La pedantería de Euclides está relacionada con una cuestión profunda que tiene mucho que decir sobre la geometría real del universo, y en más de una forma. En particular, no es en absoluto obvio que existan «cuadrados» físicos a una escala cosmológica en el universo real. Esta es una cuestión que se tiene que resolver mediante la observación, y por el momento la evidencia parece contradictoria (véanse §2.7 y §28.10).

2.3. LA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS POR ÁREAS SEMEJANTES

En la próxima sección volveré a la trascendencia matemática que tiene el no dar por supuesto el postulado de las paralelas. Las cuestiones físicas relevantes serán examinadas en §18.4, §27.11, §28.10 y §34.4. Pero antes de discutir tales cuestiones, será instructivo dirigir nuestra atención a la otra demostración del teorema de Pitágoras que ya había prometido con anterioridad.

Una de las formas más sencillas de ver que la afirmación de Pitágoras es cierta en la geometría euclídea es considerar la configuración consistente en el triángulo rectángulo dado subdividido en dos triángulos más pequeños por una recta perpendicular a la hipotenusa trazada desde el ángulo recto (Fig. 2.9). Ahora tenemos tres triángulos: el original y los dos en que este ha sido subdividido. Evidentemente, el área del triángulo original es la suma de las áreas de los dos más pequeños.

Ahora es sencillo ver que estos tres triángulos son semejantes entre sí. Esto significa que todos ellos tienen la misma forma (aunque diferentes tamaños), i.e., se obtienen unos a partir de otros mediante una dilatación o contracción uniforme, junto con un movimiento rígido. Esto se sigue porque cada uno de los tres triángulos posee exactamente los mismos ángulos, en cierto orden. Cada uno de los dos triángulos más pequeños tiene un ángulo en común con el más grande, y uno de los ángulos de cada triángulo es un ángulo recto. El tercer ángulo también debe coincidir porque la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre la misma. Ahora bien, una propiedad general de las figuras planas semejantes es que sus áreas son proporcionales a los cuadrados de sus correspondientes dimensiones lineales. Para cada triángulo, podemos considerar que esta dimensión lineal es el lado más largo, i.e., su hipotenusa. Notemos que la hipotenusa de cada uno de los triángulos más pequeños coincide con uno de los lados (no hipotenusa) del triángulo original. Así pues, se sigue al mismo tiempo (del hecho de que el área del triángulo original es la suma de las áreas de los otros dos) que el cuadrado de la hipotenusa del triángulo original es realmente la suma de los cuadrados de los otros dos lados: ¡el teorema de Pitágoras!

Una vez más, tendremos que examinar algunas hipótesis concretas que intervienen en este argumento. Un ingrediente importante del argumento es el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo tiene siempre el mismo valor. (Este valor de la suma es, por supuesto, 180°, pero Euclides hubiera dicho «dos ángulos rectos». La descripción matemática «natural» y más moderna consiste en decir que los ángulos de un rectángulo, en la geometría de Euclides, suman π. Esto supone utilizar radianes para la medida absoluta de un ángulo, donde el símbolo para el grado «°» cuenta como π/180, de modo que podemos escribir 180° = π.) La demostración habitual se representa en la Fig. 2.10. Prolonguemos CA hasta E y tracemos una recta AD que pasa por A y es paralela a CB. Entonces (como se sigue del postulado de las paralelas), los ángulos EAD y ACB son iguales, y también DAB y CBA son iguales. Puesto que los ángulos EAD, DAB y BAC suman π (o 180°, o dos ángulos rectos), así deben hacerlo también los tres ángulos ACB, CBA y BAC del triángulo, tal como queríamos demostrar. Pero nótese que aquí se ha utilizado el postulado de las paralelas.

Esta demostración del teorema de Pitágoras también hace uso del hecho de que las áreas de figuras semejantes son proporcionales a los cuadrados de cualquier medida lineal de sus tamaños. (Aquí escogemos la hipotenusa de cada triángulo como representación de su medida lineal.) Este hecho no solo depende de la existencia misma de figuras semejantes de diferentes tamaños —que en el caso de los triángulos de la Fig. 2.9 se han establecido utilizando el postulado de las paralelas—, sino también de algunas cuestiones más sofisticadas que se relacionan con el modo en que definimos realmente el «área» para formas no rectangulares. Estas cuestiones generales se abordan en términos de procedimientos de paso al límite y no quiero entrar por el momento en esta clase de discusión. Nos llevará a cuestiones más profundas relacionadas con el tipo de números que se utilizan en geometría. Volveremos a la cuestión en §§3.1-3.

Un mensaje importante de la discusión de las secciones precedentes es que el teorema de Pitágoras parece depender del postulado de las paralelas. ¿Es así realmente? Supongamos que el postulado de las paralelas fuera falso. ¿Significa eso que el propio teorema de Pitágoras podría ser falso? ¿Tiene sentido semejante posibilidad? Tratemos de abordar la cuestión de lo que sucedería si se admite que el postulado de las paralelas sea considerado falso. Parecerá que estemos entrando en un mundo de fantasía, en el que la geometría que aprendimos en la escuela se pone patas arriba. Así es, pero también encontraremos que aquí hay un objetivo más profundo.

2.4. GEOMETRÍA HIPERBÓLICA: IMAGEN CONFORME

Echemos una ojeada a la imagen de la Fig. 2.11. Es una reproducción de uno de los grabados en madera de M. C. Escher, llamado Límite circular I. En realidad, nos proporciona una representación muy aproximada de un tipo de geometría —llamada geometría hiperbólica (o a veces lobachevskiana)— en la que el postulado de las paralelas es falso, el teorema de Pitágoras deja de ser válido y los ángulos de un triángulo no suman π. Además, para una figura de un tamaño dado no existe, en general, una figura semejante de tamaño mayor.

En la Fig. 2.11, Escher ha utilizado una representación concreta de la geometría hiperbólica en la que el «universo» entero del plano hiperbólico está «comprimido» en el interior de un círculo en un plano euclídeo ordinario. La circunferencia que limita al círculo representa el «infinito» para este universo hiperbólico. Podemos ver que, en la imagen de Escher, los peces parecen apretarse mucho a medida que se acercan a dicha frontera. Pero debemos considerar esto como una ilusión. Imagínese que usted es uno de los peces. Entonces, ya esté situado próximo al borde de la imagen de Escher o próximo a su centro, el universo (hiperbólico) entero tendrá la misma apariencia para usted. La noción de «distancia» en esta geometría no coincide con la del plano euclídeo en cuyos términos ha sido representada. Cuando miramos la imagen de Escher desde nuestra perspectiva euclídea, los peces próximos a la frontera parecen hacérsenos minúsculos. Pero desde su propia perspectiva «hiperbólica», los peces blancos o negros piensan que tienen exactamente la misma forma y tamaño que los que están próximos al centro. Más aún, aunque desde nuestra perspectiva euclídea exterior ellos parecen acercarse cada vez más a la propia frontera, desde su propia perspectiva hiperbólica dicha frontera siempre queda infinitamente lejos. Ni el círculo frontera ni nada del espacio «euclídeo» exterior tiene existencia para ellos. Su universo entero consiste en lo que para nosotros parece estar estrictamente dentro del círculo.

En términos más matemáticos, ¿cómo está construida esta imagen de la geometría hiperbólica? Consideremos un círculo cualquiera en el plano euclídeo. El conjunto de puntos interiores a este círculo va a representar el conjunto de puntos en el plano hiperbólico entero. Las líneas rectas se representan, de acuerdo con la geometría hiperbólica, como círculos euclídeos que cortan ortogonalmente —lo que significa a ángulos rectos— al círculo frontera. Ahora resulta que la noción hiperbólica de ángulo entre dos curvas cualesquiera, en su punto de intersección, es exactamente la misma que la medida euclídea del ángulo entre las dos curvas en el punto de intersección. Una representación de esta naturaleza se denomina representación conforme. Por esta razón, a la representación concreta de la geometría hiperbólica que utilizó Escher se le llama a veces el modelo conforme del plano hiperbólico. (También suele llamársele disco de Poincaré. La dudosa justificación histórica de esta terminología será examinada en §2.6.)

Estamos ahora en situación de ver si los ángulos de un triángulo, en la geometría hiperbólica, suman o no π. Una rápida ojeada a la Fig. 2.12 nos lleva a creer que no lo hacen y que suman algo menos. De hecho, la suma de los ángulos de un triángulo en la geometría hiperbólica es siempre menor que π. Podríamos considerar esto como una característica desagradable de la geometría hiperbólica, ya que parece que no tenemos una respuesta «clara» para la suma de los ángulos de un triángulo. Sin embargo, cuando sumamos los ángulos de un triángulo hiperbólico sucede algo extraordinario y particularmente elegante: el déficit es siempre proporcional al área del triángulo. De forma más explícita, si los tres ángulos del triángulo son π, β y γ, entonces tenemos la fórmula (descubierta por Johann Heinrich Lambert, 1728-1777)

π – (α + β + γ) = CΔ,

donde Δ es el área del triángulo y C es una constante. Esta constante depende de las «unidades» que se escojan para medir longitudes y áreas. Siempre podemos fijar la escala de modo que C = 1. Es un hecho realmente notable que el área de un triángulo pueda expresarse de una forma tan simple en la geometría hiperbólica. En la geometría euclídea no hay modo de expresar el área de un triángulo simplemente en función de sus ángulos, y la expresión para el área de un triángulo en función de las longitudes de sus lados es bastante más complicada.

De hecho, aún no he acabado mi descripción de la geometría hiperbólica en términos de esta representación conforme, puesto que todavía no he descrito cómo va a definirse la distancia hiperbólica entre dos puntos (y convendría saber qué es «distancia» antes de que podamos hablar realmente de áreas). Permítaseme dar una expresión para la distancia hiperbólica entre dos puntos A y B interiores al círculo. Esta expresión es

donde P y Q son los puntos donde el círculo euclídeo (i.e., la línea recta hiperbólica) que pasa por A y B y es ortogonal al círculo frontera corta a dicho círculo frontera, y donde «QA», etc., se refieren a distancias euclídeas (véase la Fig. 2.13). Si se quiere incluir la «C» de la fórmula del área de Lambert (con C ≠ 1), solo hay que multiplicar la expresión anterior para la distancia por C^–1/2 (el recíproco de la raíz cuadrada de C).[4][2.2] Por razones que espero que se aclaren más adelante, me referiré a la cantidad C^–1/2 como el pseudorradio de la geometría.

Si expresiones matemáticas como la fórmula «log» anterior le parecen disuasorias, por favor, no se preocupe. Solo la doy para aquellos a quienes les gusta ver las cosas explícitamente. En cualquier caso, no voy a explicar por qué funciona la expresión (por ejemplo, por qué la distancia hiperbólica más corta entre dos puntos, así definida, se mide realmente a lo largo de una línea recta hiperbólica, o por qué las distancias a lo largo de una línea recta hiperbólica «se suman» de la forma adecuada).[2.3] También pido disculpas por el «log» (logaritmo), pero así son las cosas. De hecho, este es un logaritmo natural («log en base e») y tendré mucho que decir sobre ello en §§5.2,3. Veremos que los logaritmos son entidades realmente muy bellas y misteriosas, además de ser importantes en muchos contextos diferentes.

La geometría hiperbólica, con esta definición de distancia, resulta tener todas las propiedades de la geometría euclídea salvo aquellas que necesitan el postulado de las paralelas. Podemos construir triángulos, y otras figuras planas, de diferentes formas y tamaños, y podemos desplazarlos «rígidamente» (manteniendo invariables sus formas y tamaños hiperbólicos) con la misma libertad con que podemos hacerlo en la geometría euclídea, de modo que, igual que en la geometría euclídea, surge una noción natural de cuándo son «congruentes» dos figuras (donde «congruente» significa «que pueden desplazarse rígidamente hasta que llegan a coincidir»). De hecho, todos los peces blancos del grabado de Escher son mutuamente congruentes, según esta geometría hiperbólica, y también lo son todos los peces negros.

2.5. OTRAS REPRESENTACIONES DE LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA

Por supuesto, no todos los peces blancos parecen de la misma forma y tamaño, pero ello se debe a que los estamos viendo desde una perspectiva euclídea en lugar de una hiperbólica. La imagen de Escher hace uso simplemente de una representación euclídea concreta de la geometría hiperbólica. La propia geometría hiperbólica es algo más abstracto que no depende de ninguna representación euclídea en particular. Sin embargo, tales representaciones son muy útiles para nosotros, pues proporcionan un modo de visualizar la geometría hiperbólica refiriéndola a algo que es más familiar y en apariencia más «concreto» para nosotros, a saber, la geometría euclídea. Además, tales representaciones dejan claro que la geometría hiperbólica es una estructura consistente, y que, en consecuencia, el postulado de las paralelas no puede demostrarse a partir de las otras leyes de la geometría euclídea.

Hay, de hecho, otras representaciones de la geometría hiperbólica en términos de geometría euclídea que son diferentes de la representación conforme que utilizó Escher. Una de ellas es la que se conoce como el modelo proyectivo. Aquí, el plano hiperbólico entero es de nuevo representado como el interior de un círculo en un plano euclídeo, pero las líneas rectas hiperbólicas están ahora representadas como líneas rectas euclídeas (y no como arcos de círculo). Hay, sin embargo, un precio a pagar por esta aparente simplificación, puesto que los ángulos hiperbólicos no son ahora iguales a los ángulos euclídeos, y muchos considerarían que este es un precio demasiado alto. Para aquellos lectores que estén interesados, la distancia hiperbólica entre dos puntos A y B en esta representación está dada por la fórmula (véase la Fig. 2.14).

(tomando C = 1, que es casi igual que la expresión que teníamos antes para la representación conforme), donde R y S son las intersecciones de la línea recta prolongada AB con el círculo frontera. Esta representación de la geometría hiperbólica puede obtenerse a partir de la conforme por medio de una dilatación radial a partir del centro en una cantidad dada por

donde R es el radio del círculo frontera y r_c es la distancia euclídea de un punto al centro (euclídeo) del círculo frontera en la representación conforme (véase la Fig. 2.15).[2.4] En la Fig. 2.16 la imagen de Escher de la Fig. 2.11 ha sido transformada del modelo conforme al modelo proyectivo utilizando esta fórmula. (Pese a la pérdida de detalle, el arte preciso de Escher sigue siendo evidente.) Aunque resulta menos atractiva de esta manera, ¡presenta un nuevo punto de vista!

Existe una forma más directamente geométrica de relacionar las imágenes conforme y proyectiva, a través de otra representación aún más ingeniosa de la misma geometría. Las tres representaciones se deben al ingenioso geómetra italiano Eugenio Beltrami (1835-1900). Consideremos una esfera S, cuyo ecuador coincide con el círculo frontera de la representación proyectiva de la geometría hiperbólica que se ha dado antes. Ahora vamos a encontrar una representación de la geometría hiperbólica en el hemisferio norte S⁺ de S, que llamaré representación hemisférica. Véase la Fig. 2.17. Para pasar de la representación proyectiva en el plano (considerado horizontal) a la nueva representación en la esfera, simplemente proyectamos verticalmente hacia arriba (Fig. 2.17a). Las líneas rectas en el plano, que representan líneas rectas hiperbólicas, se representan en S⁺ por semicírculos que cortan ortogonalmente al ecuador. Ahora, para ir de la representación en S⁺ a la representación conforme en el plano proyectamos desde el polo sur (Fig. 2.17b). Esta es la que se denomina proyección estereográfica, y más adelante desempeñará un papel importante en este libro (cf. §8.3, §18.4, §22.9 y §33.6). Dos propiedades importantes de la representación estereográfica a la que llegaremos en §8.3 son que es conforme, de modo que conserva los ángulos, y que hace corresponder círculos en la esfera a círculos (o, excepcionalmente, a líneas rectas) en el plano.[2.5][2.6]

La existencia de varios modelos diferentes de geometría hiperbólica, expresados en términos de espacio euclídeo, sirve para acentuar el hecho de que en realidad estos son meramente «modelos euclídeos» de geometría hiperbólica y no debemos considerar que nos estén diciendo qué es realmente la geometría hiperbólica. La geometría hiperbólica tiene su propia «existencia platónica», igual que la tiene la geometría euclídea (véanse §1.3 y el prefacio). Ninguno de estos modelos debe tomarse como la «representación» correcta de la geometría hiperbólica, en detrimento de los otros. Las representaciones de la misma que hemos estado considerando son muy valiosas como ayudas para nuestra comprensión, pero solo porque el marco euclídeo es aquel al que estamos más acostumbrados. Para una criatura sintiente que haya crecido con una experiencia directa de la geometría hiperbólica (antes que de la euclídea), un modelo de geometría euclídea en términos hiperbólicos parecería la vía más natural. En §18.4 encontraremos aún otro modelo de geometría hiperbólica, esta vez en términos de la geometría minkowskiana de la relatividad especial.

Para terminar esta sección, volvamos a la cuestión de la existencia de cuadrados en la geometría hiperbólica. Aunque en la geometría hiperbólica no existen cuadrados cuyos ángulos sean ángulos rectos, sí existen «cuadrados» de un tipo más general cuyos ángulos son menores que los ángulos rectos. La forma más fácil de construir un cuadrado de este tipo es trazar dos líneas rectas que se cortan a ángulos rectos en un punto O. Nuestro «cuadrado» es ahora el cuadrilátero cuyos cuatro vértices son las intersecciones A, B, C, D (tomadas cíclicamente) de estas dos líneas con un círculo con centro O. Véase la Fig. 2.18. Debido a la simetría de la figura, los cuatro lados del cuadrilátero resultante ABCD son iguales y los cuatro ángulos también deben ser iguales. Pero ¿son rectos estos ángulos? No en la geometría hiperbólica. De hecho, pueden ser cualquier ángulo (positivo) que queramos que sea menor que un ángulo recto, pero no igual a un ángulo recto. Cuanto más grande es el cuadrado (hiperbólico), es decir, cuanto mayor es el círculo en la construcción anterior, menores serán sus ángulos. En la Fig. 2.19a he representado un retículo de cuadrados hiperbólicos, utilizando el modelo conforme, donde hay cinco cuadrados en cada vértice (en lugar de los cuatro euclídeos), de modo que el ángulo es π, o 72°. En la Fig. 2.19b he dibujado el mismo retículo utilizando el modelo proyectivo. Se verá que este no permite las modificaciones que serían necesarias para el retículo de dos cuadrados de la Fig. 2.2.[2.7]

2.6. ASPECTOS HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA

Aquí es oportuno hacer algunos comentarios históricos concernientes al descubrimiento de la geometría hiperbólica. Durante los siglos siguientes a la publicación de los elementos de Euclides, aproximadamente en el año 300 a.C., varios matemáticos intentaron demostrar el quinto postulado a partir de los otros axiomas y postulados. Estos esfuerzos alcanzaron su culminación con el heroico trabajo del jesuita Girolamo Saccheri, en 1773. Podría parecer que el propio Saccheri debió de pensar que la obra de su vida era, en definitiva, un fracaso, pues se reducía a un intento insatisfactorio de demostrar el postulado de las paralelas mostrando que la hipótesis de que la suma de los ángulos de todo triángulo es menor que dos ángulos rectos lleva a una contradicción. Incapaz de hacer esto de forma lógica tras tremendos esfuerzos, concluyó, más bien débilmente:

La hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa, porque repugna a la naturaleza de la línea recta.[5]

La hipótesis del «ángulo agudo» afirma que las líneas a y b de la Fig. 2.8 a veces no se cortan. Es realmente viable, ¡y, de hecho, da la geometría hiperbólica!

¿Cómo puede ser que Saccheri descubriera efectivamente algo que él estaba tratando de demostrar que era imposible? La propuesta de Saccheri para demostrar el quinto postulado de Euclides consistía en formular la hipótesis de que el quinto postulado era falso y obtener entonces una contradicción a partir de dicha hipótesis. De este modo, él proponía hacer uso de uno de los principios más tradicionales y fructíferos que han sido propuestos en matemáticas —muy posiblemente introducido por primera vez por los pitagóricos— llamado demostración por contradicción (o reductio ad absurdum, para darle su nombre latino). Según este procedimiento, para probar que una afirmación es cierta se formula primero la hipótesis de que la afirmación en cuestión es falsa, y luego se argumenta que de ello se sigue una contradicción. Si se llega a encontrar tal contradicción, se deduce que la afirmación debe ser, después de todo, verdadera.[6] La demostración por contradicción proporciona un método muy potente de razonamiento en matemáticas, hoy aplicado con frecuencia. Aquí es apropiada una cita del distinguido matemático G. H. Hardy:

La reductio ad absurdum, que tanto amaba Euclides, es una de las armas matemáticas más valiosas. Es un gambito mucho más fino que cualquier gambito de ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón o incluso una pieza, pero un matemático ofrece el juego.[7]

Veremos otros usos de este importante principio más adelante (véanse §3.1 y §§16.4,6).

Sin embargo, Saccheri fracasó en su intento de encontrar una contradicción. Por consiguiente, no pudo obtener una demostración del quinto postulado. Pero al esforzarse en ello, descubrió algo mucho más grande: una nueva geometría, diferente de la de Euclides —la geometría discutida en §§2.4,5 que ahora llamamos geometría hiperbólica—. A partir de la hipótesis de que el quinto postulado de Euclides era falso, obtuvo, en lugar de una contradicción real, un montón de teoremas de apariencia extraña y apenas creíble, pero muy interesantes. No obstante, por extraños que parecieran tales resultados, ninguno de ellos era realmente una contradicción. Como sabemos ahora, no había ninguna posibilidad de que Saccheri encontrara de esta manera una contradicción genuina, por la sencilla razón de que la geometría hiperbólica existe realmente, en el sentido matemático de que existe una estructura semejante consistente. En la terminología de §1.3 la geometría hiperbólica habita en el mundo platónico de las formas matemáticas. (La cuestión de la realidad física de la geometría hiperbólica se tocará en §2.7 y §28.10.)

Poco tiempo después de Saccheri, el muy perspicaz matemático Johann Heinrich Lambert (1728-1777) obtuvo también numerosos y fascinantes resultados geométricos a partir de la hipótesis de que el quinto postulado de Euclides es falso, incluyendo el bello resultado mencionado en §2.4 que da el área de un triángulo hiperbólico en función de la suma de sus ángulos. Parece que Lambert pudo haberse formado la opinión, al menos en alguna etapa de su vida, de que realmente podía obtenerse una geometría consistente a partir de la negación del quinto postulado de Euclides. Al parecer, la razón tentativa de Lambert era que podía contemplar la posibilidad teórica de la geometría en una «esfera de radio imaginario», i.e., en una esfera cuyo «radio al cuadrado» es negativo. La fórmula de Lambert π – (α + β + γ) = = CΔ da el área, Δ, de un triángulo hiperbólico, donde α, β, γ son los ángulos del triángulo y C es una constante (siendo –C lo que ahora llamaríamos la «curvatura gaussiana» del plano hiperbólico). Esta fórmula tiene básicamente la misma apariencia que una previamente conocida debida a Thomas Hariot (1560-1621), Δ = R²(α + β + γ – π), para el área Δ de un triángulo esférico, dibujado con arcos de círculo máximo[8] en una esfera de radio R (véase la Fig. 2.20).[2.8] Para recuperar la fórmula de Lambert, tenemos que poner

Pero, para dar el valor positivo de C, como sería necesario en la geometría hiperbólica, necesitamos que el radio de la esfera sea «imaginario» (i.e., que sea la raíz cuadrada de un número negativo). Nótese que el radio R está dado por la cantidad imaginaria (–C)^–1/2. Esto explica el término «pseudorradio», introducido en §2.4, para la cantidad real C^–1/2. De hecho, el procedimiento de Lambert está perfectamente justificado desde nuestra perspectiva más moderna (véanse el capítulo 4 y §18.4), y el hecho de haberlo previsto revela una gran intuición por su parte.

Sin embargo, el punto de vista convencional (algo injusto, en mi opinión) niega a Lambert el honor de haber construido por primera vez una geometría no euclídea, y considera que (aproximadamente medio siglo más tarde) la primera persona que llegó a una aceptación clara de una geometría completamente consistente, distinta de la de Euclides, en la que el postulado de las paralelas es falso, fue el gran matemático Carl Friedrich Gauss. Al ser un hombre muy cauteloso, y temiendo la controversia que semejante revelación pudiera causar, Gauss no publicó sus hallazgos y se los reservó para sí.[9] Unos treinta años después de que Gauss hubiera empezado a trabajar en ello, la geometría hiperbólica fue redescubierta de forma independiente por otros, entre ellos el húngaro János Bolyai (en 1829) y, muy en especial, el geómetra ruso Nicolái Ivánovich Lobachevski hacia 1826 (de ahí que la geometría hiperbólica sea denominada con frecuencia geometría lobachevskiana).

Las realizaciones concretas proyectiva y conforme de la geometría hiperbólica que he descrito antes fueron encontradas por Eugenio Beltrami, y publicadas en 1868, junto con algunas otras elegantes representaciones que incluyen la hemisférica mencionada en §2.5. No obstante, la representación conforme se conoce normalmente como el «modelo de Poincaré», porque el redescubrimiento de esta representación que hizo Poincaré en 1882 es mejor conocido que la obra original de Beltrami (básicamente debido al importante uso que hizo Poincaré de este modelo).[10] Análogamente, la representación proyectiva del pobre Beltrami se denomina a veces «representación de Klein». No es infrecuente en matemáticas que el nombre habitualmente asociado a un concepto matemático no sea el de su descubridor original. Al menos, en este caso, Poincaré sí redescubrió la representación conforme (como hizo Klein con la proyectiva en 1871). Hay otros ejemplos en matemáticas en los que el (los) matemático(s) cuyo nombre (o nombres) está asociado a un resultado ¡ni siquiera conocía el resultado en cuestión![11]

La representación de la geometría hiperbólica por la que Beltrami es más conocido es otra que él también encontró en 1868. Esta representa la geometría sobre cierta superficie conocida como una pseudoesfera (véase la Fig. 2.21). Dicha superficie se obtiene rotando una tractriz, una curva investigada por primera vez por Isaac Newton en 1676, alrededor de su «asíntota». La asíntota es una línea recta a la que se aproxima la curva, haciéndose asintóticamente tangente a ella cuando la curva se extiende al infinito. Aquí vamos a imaginar la asíntota dibujada en un plano horizontal de textura rugosa. Imaginemos ahora una varilla ligera, recta y rígida, uno de cuyos extremos, P, lleva unida una masa puntual pesada, y el otro extremo R se mueve a lo largo de la asíntota. El punto P describe entonces una tractriz. Ferdinand Minding descubrió, en 1839, que la pseudoesfera tiene una geometría intrínseca negativa constante, y Beltrami utilizó esto para construir el primer modelo de geometría hiperbólica. Parece que el modelo de la pseudoesfera de Beltrami fue el que convenció a los matemáticos de la consistencia de la geometría hiperbólica plana, puesto que la medida de la distancia hiperbólica coincide con la distancia euclídea a lo largo de la superficie. Sin embargo, es un modelo algo complicado porque representa a la geometría hiperbólica solo localmente, en lugar de presentar toda la geometría de una vez, como hacen los otros modelos de Beltrami.

2.7. ¿RELACIÓN CON EL ESPACIO FÍSICO?

La geometría hiperbólica también funciona perfectamente en dimensiones más altas. Más aún, existen versiones de dimensión superior de los modelos conforme y proyectivo. En el caso de la geometría hiperbólica tridimensional, tenemos una esfera frontera en lugar de un círculo frontera. Toda la geometría hiperbólica tridimensional infinita está representada por el interior de esta esfera euclídea finita. El resto es básicamente igual que lo que teníamos antes. En el modelo conforme, las líneas rectas en esta geometría hiperbólica tridimensional se representan como círculos euclídeos que cortan ortogonalmente a la esfera frontera; los ángulos vienen dados por las medidas euclídeas, y las distancias vienen dadas por la misma fórmula que en el caso bidimensional. En el modelo proyectivo, las líneas rectas hiperbólicas son líneas rectas euclídeas, y las distancias vienen dadas de nuevo por la misma fórmula que en el caso bidimensional.

¿Qué pasa con nuestro universo real a escalas cosmológicas? ¿Esperamos que su geometría espacial sea euclídea, o podría estar en mejor acuerdo con alguna otra geometría, tal como la extraordinaria geometría hiperbólica (aunque en tres dimensiones) que hemos estado examinando en §§2.4-6? Esta es una cuestión realmente importante. Sabemos por la relatividad general de Einstein (a la que llegaremos en §17.9 y §19.6) que la geometría euclídea es solo una aproximación (extraordinariamente precisa) a la geometría real del espacio físico. Dicha geometría no es ni siquiera exactamente uniforme, al tener pequeños rizos de irregularidad debidos a la presencia de densidad de materia. Pese a todo, y de forma notable, de acuerdo con la mejor evidencia observacional de que hoy disponen los cosmólogos, estos rizos parecen promediarse, en escalas cosmológicas, hasta un grado extraordinariamente preciso (véanse §27.13 y §§28.4-10), y la geometría espacial de nuestro universo real parece concordar extraordinariamente bien con una geometría uniforme (homogénea e isótropa; véase §27.11). Parece que al menos los cuatro primeros postulados de Euclides han superado de forma impresionante la prueba del tiempo.

Aquí es necesario hacer un comentario aclaratorio. Básicamente existen tres tipos de geometría que satisfarían las condiciones de homogeneidad (todos los puntos son iguales) e isotropía (todas las direcciones son iguales), que se conocen como euclídea, hiperbólica y elíptica. La geometría euclídea nos es familiar (y lo ha sido durante unos veintitrés siglos). La geometría hiperbólica ha constituido nuestro interés principal en este capítulo. Pero ¿cuál es la geometría elíptica? Esencialmente, la geometría elíptica plana es la satisfecha por figuras dibujadas en la superficie de una esfera. Apareció en la discusión de la aproximación de Lambert a la geometría hiperbólica, en §2.6. Véanse las Figs. 2.22 a, b, c, para la interpretación de Escher de los casos elíptico, euclídeo e hiperbólico, respectivamente, utilizando en los tres casos una teselación similar de ángeles y demonios, la tercera de las cuales ofrece una alternativa interesante a la Fig. 2.11. (Existe también una versión tridimensional de la geometría elíptica, y hay versiones en las que se considera que puntos diametralmente opuestos de la esfera representan el mismo punto. Estas cuestiones se examinarán con algo más de detalle en §27.11.) Sin embargo, podría decirse que el caso elíptico viola los postulados segundo y tercero de Euclides (además del primero). En efecto, se trata de una geometría que es finita en extensión (y en la que más de un segmento de línea une un par de puntos).

¿Cuál es, entonces, el estatus observacional de la geometría espacial a gran escala del universo? Solo se puede decir que todavía no lo sabemos, aunque recientemente se ha dado gran publicidad a afirmaciones de que la geometría de Euclides era correcta en todos los niveles, y que su quinto postulado también se cumple, de modo que la geometría espacial promediada es lo que llamamos «euclídea».[12] Por otra parte, existe también evidencia (parte de la cual procede de los mismos experimentos) que parece apuntar firmemente a una geometría global hiperbólica para el universo espacial.[13] Además, algunos teóricos han argumentado hace tiempo a favor del caso elíptico, y este no está desde luego descartado por la propia evidencia que se aporta en apoyo del caso euclídeo (véanse las últimas partes de §34.4). Como percibirá el lector, la cuestión está todavía llena de controversia y, como cabría esperar, de discusiones con frecuencia acaloradas. En posteriores capítulos de este libro, trataré de presentar muchas de las ideas que se han propuesto en relación con esto (y no intento ocultar mi propia opinión a favor del caso hiperbólico, aunque tratando de ser tan justo respecto a los otros como sea posible).

Por fortuna para aquellos, como yo mismo, que se sienten atraídos por las bellezas de la geometría hiperbólica, y también por la magnificencia de la física moderna, existe otro papel para esta soberbia geometría que es indiscutiblemente fundamental para nuestra moderna comprensión del universo físico. En efecto, según la moderna teoría de la relatividad, el espacio de velocidades es ciertamente una geometría hiperbólica tridimensional (véase §18.4), en lugar de la euclídea que sería válida en la más antigua teoría newtoniana. Esto nos ayuda a entender algunos de los enigmas de la relatividad. Imaginemos, por ejemplo, un proyectil lanzado hacia delante, con velocidad cercana a la de la luz, desde un vehículo que también se mueve hacia delante con una velocidad comparable y pasa frente a un edificio. Pese a todo, con relación a dicho edificio, el proyectil nunca puede superar la velocidad de la luz. Aunque esto parece imposible, veremos en §18.4 que encuentra una explicación directa en términos de geometría hiperbólica. Pero estas materias fascinantes deben esperar hasta capítulos posteriores.

¿Qué pasa con el teorema de Pitágoras, cuyo fallo hemos visto en la geometría hiperbólica? ¿Debemos abandonar el mayor de los regalos concretos que hicieron los pitagóricos a la posteridad? En absoluto, pues la geometría hiperbólica —y, de hecho, todas las geometrías «riemannianas» que generalizan la geometría hiperbólica de una manera irregularmente curvada (que forma el marco esencial de la teoría de la relatividad general de Einstein; véanse §13.8, §14.7, §18.1 y §19.6)— depende vitalmente de la validez del teorema de Pitágoras en el límite de pequeñas distancias. Además, su enorme influencia impregna otras vastas áreas de las matemáticas y la física (por ejemplo, la estructura métrica «unitaria» de la mecánica cuántica; véase §22.3). A pesar de que este teorema es, en cierto sentido, reemplazado para «grandes» distancias, sigue siendo central para la estructura a pequeña escala de la geometría, encontrando un rango de aplicación que supera muchísimo a aquel para el que fue propuesto originalmente.

Notas

Sección 2.1

2.1. No está muy claro históricamente quién demostró realmente por primera vez lo que ahora conocemos como «teorema de Pitágoras»; véase la nota 1.1. Parece que los antiguos egipcios y babilonios conocían al menos muchos ejemplos de este teorema. El verdadero papel desempeñado por Pitágoras o sus seguidores es básicamente supuesto.

Sección 2.2

2.2. No obstante, incluso con todo este cuidado en la obra de Euclides quedaron varias hipótesis ocultas, que tienen que ver básicamente con lo que ahora llamaríamos cuestiones «topológicas» que habrían parecido «intuitivamente obvias» para Euclides y sus contemporáneos. Estas hipótesis no mencionadas solo fueron advertidas siglos después, en particular por Hilbert a finales del siglo XIX. Las ignoraré en lo que sigue.

2.3. Véase, por ejemplo, Thomas (1939). Compárese también con Schulz (1997), que da una bella exposición axiomática de la geometría espaciotemporal 4-dimensional de Minkowski (§17.8, §18.1).

Sección 2.4

2.4. La notación «exponencial» tal como C^–1/2 se utiliza con frecuencia en este libro. Como ya se ha dicho en la nota 1.1, a⁵ significa a × a × a × a × a; por consiguiente, para un entero positivo n, el producto de a consigo mismo un total de n veces se escribe aⁿ. Esta notación se extiende a exponentes negativos, de modo que a^–1 es el recíproco 1/a de a, y a^–n es el recíproco 1/aⁿ de an, o de forma equivalente (a^–1)ⁿ. De acuerdo con la discusión más general de §5.2, a^1/n, para un número positivo a, es la «raíz n-ésima de a», que es el número (positivo) que satisface (aa^1/n)ⁿ = a (véase la nota 1.1). Además, a^m/n es la potencia m-ésima de a^1/n.

Sección 2.6

2.5. Saccheri (1733), Prop. XXXIII.

2.6. Existe un punto de vista conocido como intuicionismo, mantenido por una minoría (bastante pequeña) de matemáticos, en el que no se acepta el principio de «demostración por contradicción». La objeción consiste en que este principio puede ser no constructivo en cuanto que a veces lleva a una afirmación de la existencia de cierta entidad matemática, sin que se ofrezca ninguna construcción real de la misma. Esto tiene cierta relevancia para las cuestiones discutidas en §16.6. Véase Heyting (1956).

2.7. Hardy (1940), p. 34.

2.8. Los arcos de círculo máximo son las curvas «más cortas» (geodésicas) sobre la superficie de una esfera; yacen en planos que pasan por el centro de la esfera.

2.9. Es un tema de discusión si Gauss, que estaba profesionalmente interesado en asuntos de geodesia, podría haber tratado de averiguar realmente si hay desviaciones medibles de la geometría euclídea en el espacio físico. Debido a su bien conocida reticencia en cuestiones de geometría no euclídea, es poco probable que lo diera a conocer si en efecto estuviera tratando de hacerlo, especialmente porque (como ahora sabemos) estaba abocado al fracaso, debido a la pequeñez del efecto, según la teoría moderna. Parece que hoy día hay consenso en que él «solo estaba haciendo geodesia», al estar interesado en la curvatura de la Tierra, y no del espacio. Pero encuentro algo difícil creer que él no anduviera también buscando cualquier discrepancia importante con la geometría euclídea; véanse Fauvel y Gray (1987) y Gray (1979).

2.10. La representación denominada «semiplano de Poincaré» (con forma métrica (dx² + dy²)/y²; véase §14.7) se debe también a Beltrami (1868). La curvatura negativa constante de la «métrica de Poincaré» 4(dx² + + dy²)/(1 – x² – y²)² de las Figs. 2.11-13 fue advertida realmente por Riemann.

2.11. Esto parece aplicarse incluso al propio Gauss (que, por otra parte, había anticipado con mucha frecuencia el trabajo de otros matemáticos). Existe un importante teorema matemático topológico conocido como «teorema de Gauss-Bonnet», que puede demostrarse elegantemente mediante el uso de la denominada «aplicación de Gauss», pero el propio teorema parece deberse en realidad a Blaschke y el elegante método de demostración citado fue encontrado por Olinde Rodrigues. Parece que Gauss y Bonnet no conocieron jamás ni el resultado ni el método de demostración. Existe un teorema de «Gauss-Bonnet» más elemental, correctamente citado en varios textos; véanse Willmore (1959) y Rindler (2001).

Sección 2.7

2.12. La evidencia principal respecto a la estructura global del universo como un todo procede de un análisis detallado de la radiación cósmica de fondo de microondas (CMB) que se discutirá en §§27.7,10,11,13, §§28.5,10 y §30.14. Una referencia básica es de Bernardis et al. (2000); para datos más recientes y más precisos, véase Netterfield et al. (2001) (concernientes a BOOMERanG). Véanse también Hanany et al. (2000) (concernientes a MAXIMA), Halverson et al. (2001) (concernientes a DASI), y Bennet et al. (2003).

2.13. Véanse Gurzadyan y Torres (1997) y Gurzadyan y Kocharyan (1994) para los soportes teóricos, y Gurzadyan y Kocharyan (1992) (para los datos de COBE) y Gurzadyan et al. (2002, 2003) (para los datos de BOOMERanG y (2004) para los datos de WMAP) para los correspondientes análisis de los datos CMB reales.

3

Tipos de números en el mundo físico

3.1. ¿UNA CATÁSTROFE PITAGÓRICA?

Volvamos ahora a la cuestión de la demostración por contradicción, el principio que Saccheri trató inútilmente de utilizar en su intento de demostración del quinto postulado de Euclides. Hay muchos casos en las matemáticas clásicas en los que el principio ha sido aplicado con éxito. Uno de los más famosos se remonta a los pitagóricos, y zanjó una cuestión matemática en un sentido que les iba a causar grandes problemas. La cuestión era la siguiente: ¿es posible encontrar un número racional (i.e., una fracción) cuyo cuadrado sea exactamente el número 2? Resulta que la respuesta es no, y la afirmación matemática que voy a demostrar dentro de poco es, en efecto, que no existe tal número racional.

¿Por qué estaban los pitagóricos tan molestos por este descubrimiento? Recordemos que una fracción —es decir, un número racional— es algo que puede expresarse como la razón a/b de dos enteros a y b, siendo b distinto de cero. (Véase el prefacio para una discusión de la definición de una fracción.) Los pitagóricos tenían al principio la esperanza de que toda su geometría podría expresarse en términos de longitudes que podrían medirse en términos de números racionales. Los números racionales son cantidades bastante simples, pues son descriptibles y comprensibles en términos finitos simples; pese a todo, pueden utilizarse para especificar distancias tan pequeñas o tan grandes como queramos. Si pudiera hacerse toda la geometría con los racionales, esto haría las cosas relativamente sencillas y fácilmente comprensibles. La noción de un número «irracional», por el contrario, requiere procesos infinitos, y esto hubiera planteado dificultades considerables a los antiguos (y con toda la razón). ¿Qué dificultad plantea el hecho de que no exista un número racional cuyo cuadrado sea 2? Esta procede del propio teorema de Pitágoras. Si en la geometría euclídea tenemos un cuadrado con lados de longitud unidad, entonces la longitud de su diagonal es un número cuyo cuadrado es 1² + 1² = 2 (véase la Fig. 3.1). Sería realmente catastrófico para la geometría que no hubiera ningún número que pudiera describir la longitud de la diagonal de un cuadrado. Al principio, los pitagóricos trataron de arreglárselas con una noción de «número en acto» que pudiera describirse simplemente en términos de razones de números enteros. Veamos por qué esto no puede funcionar.

La cuestión consiste en ver por qué la ecuación

no tiene solución para enteros a y b, donde estos enteros se consideran positivos. Utilizaremos las demostración por contradicción para demostrar que no pueden existir tales a y b. Supongamos, por lo tanto, que sí existen tales a y b. Multiplicando ambos miembros de la ecuación anterior por b², encontramos que se convierte en

a² = 2b²

y concluimos[1] claramente que a² > b² > 0. Ahora, el segundo miembro, 2b², de la ecuación anterior es par, de donde se sigue que a debe ser par (y no impar, puesto que el cuadrado de cualquier número impar es impar). Así pues, existe un entero positivo c tal que a = 2c. Sustituyendo a por 2c en la ecuación anterior, y elevando al cuadrado, obtenemos

4c² = 2b²,

es decir, dividiendo ambos miembros por 2,

b² = 2c²,

y concluimos que b² > c² > 0. Ahora bien, esta es precisamente la misma ecuación que teníamos antes, excepto que b reemplaza ahora a a y c reemplaza a b. Nótese que los enteros correspondientes son ahora más pequeños que antes. Podemos repetir el argumento una y otra vez, obteniendo una secuencia interminable de ecuaciones

a² = 2b², b² = 2c², c² = 2d², d² = 2e²…,

donde

a² > b² > c² > d² > e² > … ,

siendo todos estos enteros positivos. Pero cualquier secuencia decreciente de enteros positivos debe llegar a un final, lo que contradice el hecho de que esta secuencia es interminable. Esto nos da una contradicción con lo que se había supuesto, a saber, que existe un número racional cuyo cuadrado es 2. De ello se sigue que no existe tal número racional, como queríamos demostrar.[2]

Algunos puntos del argumento anterior merecen un comentario. En primer lugar, de acuerdo con los procedimientos normales de la demostración matemática, en el argumento se ha apelado a ciertas propiedades de los números que se tomaban como «obvias» o como previamente establecidas. Por ejemplo, hemos utilizado el hecho de que el cuadrado de un número impar es siempre impar y, además, que si un entero no es impar, entonces es par. También utilizamos el hecho fundamental de que cada secuencia estrictamente decreciente de números enteros positivos debe llegar a un final.

Una razón por la que puede ser importante identificar las hipótesis precisas que entran en una demostración —incluso si algunas de estas hipótesis pudieran ser cosas perfectamente «obvias»— es que los matemáticos están a menudo interesados en otros tipos de entidades distintas de aquellas a las que originalmente concernía la demostración. Si estas otras entidades satisfacen las mismas hipótesis, entonces la demostración será extrapolable y se verá que la afirmación que ha sido demostrada tiene una generalidad mayor que la originalmente percibida, puesto que se aplicará también a estas otras entidades. Por el contrario, si alguna de las hipótesis necesarias deja de ser válida para estas entidades alternativas, entonces la afirmación en cuestión puede resultar falsa para dichas entidades. (Por ejemplo, es importante darse cuenta de que en las demostraciones del teorema de Pitágoras dadas en §2.2 se utilizaba el postulado de las paralelas, por lo que el teorema es realmente falso en la geometría hiperbólica.)

En el argumento anterior, las entidades originales son números enteros y estamos interesados en aquellos números —los números racionales— que se construyen como cocientes de enteros. Con tales números se da realmente el caso de que ninguno de ellos tiene 2 como cuadrado. Pero hay otros tipos de números además de los simples enteros y racionales. En realidad, la necesidad para una raíz cuadrada de 2 obligó a los antiguos griegos, muy en contra de su voluntad en aquel tiempo, a salir de los confines de los números enteros y los racionales, los únicos tipos de números que previamente habían estado dispuestos a aceptar. El tipo de número al que se vieron llevados fue el que hoy día llamamos un «número real»: un número que ahora expresamos mediante un desarrollo decimal interminable (aunque una representación semejante no estaba disponible para los antiguos griegos). De hecho, 2 tiene una raíz cuadrada dentro de los números reales, a saber (como ahora la escribiríamos):

= 1,414 213 562 373 095 048 801 688 72 …

En la próxima sección consideraremos con más detalle el estatus físico de tales números «reales».

Como curiosidad, podemos preguntar por qué la demostración anterior de la no existencia de una raíz cuadrada de 2 falla para números reales (o para razones de números reales, lo que es equivalente). ¿Qué sucede si reemplazamos «entero» por «número real» en todo el argumento? La diferencia básica es que no es cierto que cualquier sucesión estrictamente decreciente de reales positivos (o incluso de fracciones) debe llegar a un final, y el argumento se viene abajo en ese punto.[3] (Consideremos, por ejemplo, la secuencia interminable 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, …, .) A uno podría preocuparle qué sería un número real «impar» y «par» en este contexto. De hecho, el argumento no encuentra ninguna dificultad en este punto porque todos los números reales tendrían que contar como «pares», puesto que para cualquier real a hay siempre un real c tal que a = 2c, al ser siempre posible la división por 2 para los reales.

3.2. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

Así fue como los griegos se vieron obligados a admitir que los números racionales no son suficientes para desarrollar adecuadamente las ideas de la geometría (de Euclides). Hoy día no nos preocupa excesivamente que cierta cantidad geométrica no pueda ser medida en términos de números racionales simplemente. Esto se debe a que la noción de un «número real» resulta muy familiar para nosotros. Aunque nuestras calculadoras de bolsillo expresan los números mediante un número finito de dígitos, aceptamos que esta es una aproximación a la que nos obliga el hecho de que la calculadora es un objeto finito. Estamos dispuestos a admitir que el número matemático ideal (platónico) podría requerir que el desarrollo decimal se prolongue indefinidamente. Esto se aplica, por supuesto, incluso a la representación decimal de la mayoría de las fracciones, tales como

= 0,333 333 333 …,

= 2,416 666 666 …,

= 1,285 714 285 714 285 …,

= 1,601 351 351 35 … .

En el caso de una fracción, el desarrollo decimal siempre acaba siendo periódico, lo que quiere decir que llega un momento en que la secuencia infinita de dígitos consiste en una secuencia finita que se repite indefinidamente. En los ejemplos anteriores, las secuencias repetidas son 3, 6, 285714 y 135, respectivamente.

Los desarrollos decimales no estaban disponibles para los antiguos griegos, pero ellos tenían sus propios modos de entender los números irracionales. En efecto, lo que adoptaron era un sistema de representación de números en términos de lo que ahora llamamos fracciones continuas. No hay necesidad de entrar aquí en detalles, pero es apropiado hacer algunos breves comentarios. Una fracción continua[4] es una expresión finita o infinita a + (b + (c + (d + …)^–1)^–1)^–1, donde a, b, c, d, … son enteros positivos:

Cualquier número racional mayor que 1 puede escribirse como una de estas expresiones terminada (donde, para evitar ambigüedades, exigimos normalmente que el último entero sea mayor que 1), por ejemplo, 52/9 = 5 + (1 + (3 + (2)^–1)^–1)^–1:

y, para representar un racional positivo menor que 1, simplemente admitimos que el primer entero en la expresión sea cero. Para expresar un número real, que no es racional, simplemente[3.1] permitimos que la expresión de la fracción continua siga de manera indefinida, siendo algunos ejemplos[5]

En los dos primeros de estos ejemplos infinitos, las secuencias de números naturales que aparecen —a saber, 1, 2, 2, 2, 2, … en el primer caso y 5, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 2, … en el segundo— tienen la propiedad de que son finalmente periódicas (repitiéndose indefinidamente el 2 en el primer caso y repitiéndose indefinidamente la secuencia 1, 2 en el segundo).[3.2] Recordemos que, como ya se ha advertido antes, en la notación decimal familiar, son los números racionales los que tienen expresiones (finitas o) finalmente periódicas. Por otra parte, podemos considerar que una virtud de la representación de «fracción continua» griega es que los números racionales tienen ahora siempre una descripción finita. Una pregunta natural que se puede plantear en este contexto es: ¿qué números tienen una representación en forma de fracción continua finalmente periódica? Un teorema notable, demostrado por primera vez que sepamos por el gran matemático del siglo XVIII Joseph L. Lagrange (cuyas otras ideas más importantes encontraremos más adelante, en particular en el capítulo 20), dice que los números cuyas representaciones en términos de fracciones continuas son finalmente periódicas son los denominados irracionales cuadráticos.[6]

¿Qué es un irracional cuadrático y qué importancia tiene para la geometría griega? Es un número que puede escribirse en la forma

donde a y b son fracciones, y donde b no es un cuadrado perfecto. Estos números son importantes en geometría euclídea porque son los números irracionales más inmediatos que se encuentran en las construcciones con regla y compás. (Recordemos el teorema de Pitágoras, que en §3.1 nos ha llevado por primera vez a considerar el problema de , y otras construcciones sencillas de longitudes euclídeas nos llevaron directamente a otros números de la forma anterior.)

Ejemplos concretos de irracionales cuadráticos son aquellos casos donde a = 0 y b es un número natural (no cuadrado) o racional mayor que 1, por ejemplo:

La representación de fracción continua de un número semejante es especialmente sorprendente. La secuencia de números naturales que la define como una fracción continua tiene una curiosa propiedad característica. Empieza con cierto número A, que luego es seguido inmediatamente por una secuencia «palindrómica» (i.e., una que se lee igual hacia atrás), B, C, D, …, D, C, B, seguida por 2A, tras el cual la propia secuencia B, C, D, …, D, C, B, 2A se repite indefinidamente. El número ŒW14 es un buen ejemplo, para el que la secuencia es

3, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, …

Aquí A = 3 y la secuencia palindrómica B, C, D, …, D, C, B es simplemente la secuencia de tres términos 1, 2, 1.

¿Cuánto de esto era conocido por los antiguos griegos? Parece probable que conocían mucho —muy posiblemente todas las cosas que he descrito antes (incluido el teorema de Lagrange)—, aunque quizá carecieran de demostraciones rigurosas para todo. Al parecer, gran parte de esto fue establecido por Teeteto, contemporáneo de Platón. Parece incluso que hay alguna evidencia de este conocimiento (incluidas las secuencias palindrómicas repetidas antes mencionadas) manifiesta en la dialéctica de Platón.[7]

Aunque la incorporación de los irracionales cuadráticos nos acerca algo hacia los números adecuados para la geometría euclídea, no hace todo lo que se necesita. En el décimo (y más difícil) libro de Euclides se consideran números como (con a y b racionales positivos). Estos no son generalmente irracionales cuadráticos, pero se dan, de todas formas, en construcciones de regla y compás. Números suficientes para tales construcciones geométricas serían aquellos que pueden formarse a partir de números naturales por uso repetido de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, y toma de la raíz cuadrada. Pero operar exclusivamente con tales números se hace muy complicado, y estos números son todavía demasiado limitados para consideraciones de geometría euclídea que van más allá de las construcciones de regla y compás. Es mucho más satisfactorio dar el paso capital —y hasta qué punto es capital se indicará en §§16.3-5— de permitir expresiones de fracciones continuas infinitas que son completamente generales. Esto proporcionó a los griegos una forma de describir números que resulta adecuada para la geometría euclídea.

Estos números son en realidad, en terminología moderna, los denominados «números reales». Aunque se considera que una definición completamente satisfactoria de tales números no fue encontrada hasta el siglo XIX (con el trabajo de Dedekind, Cantor y otros), el gran matemático y astrónomo griego Eudoxo, que había sido uno de los discípulos de Platón, había obtenido las ideas esenciales ya en el siglo IV a.C. Aquí resulta apropiado comentar las ideas de Eudoxo.

En primer lugar, notemos que los números en geometría euclídea pueden expresarse en términos de razones de longitudes, más que directamente en términos de longitudes. De esta forma, no se necesitaba ninguna unidad específica de longitud (tal como la «pulgada» o el «dactylos» griego). Además, con razones de longitudes no habría restricciones en cuanto al número de tales razones que podían multiplicarse (obviando la aparente necesidad de «hipervolúmenes» en dimensiones más altas cuando se multiplican más de tres longitudes). El primer paso en la teoría de Eudoxo consistía en proporcionar un criterio acerca de cuándo una razón de longitudes a : b sería mayor que otra razón semejante c : d. Este criterio es que existen ciertos enteros positivos M y N tales que la longitud a sumada a sí misma M veces supera a b sumada a sí misma N veces, mientras que también d sumada a sí misma N veces supera a c sumada a sí misma M veces.[3.3] Un criterio correspondiente es válido para expresar la condición de que la razón a : b es menor que la razón c : d. La condición para la igualdad de ambas razones sería que no se cumpla ninguno de estos criterios. Con esta ingeniosa noción de «igualdad» de tales razones, Eudoxo tenía, en efecto, un concepto abstracto de «número real» en términos de razones de longitudes. Él también proporcionó reglas para la suma y el producto de tales números reales.[3.4]

Sin embargo, había una diferencia básica en el punto de vista entre la noción griega de número real y la moderna, porque los griegos creían que el sistema de números nos estaba básicamente «dado» en términos de la noción de distancia en el espacio físico, de modo que el problema consistía en tratar de establecer cómo se comportaban realmente estos números «distancia»; pues el propio «espacio» podría haber parecido un absoluto platónico incluso si los objetos físicos reales existentes en dicho espacio estuvieran inevitablemente muy lejos del ideal platónico.[8] (Sin embargo, en §17.9 y §§19.6,8 veremos que la teoría de la relatividad general de Einstein ha cambiado ahora esta perspectiva del espacio y la materia de un modo fundamental.)

Un objeto físico tal como un cuadrado dibujado en la arena o un cubo esculpido en mármol podría haber sido considerado por los antiguos griegos como una razonable o a veces una excelente aproximación al ideal geométrico platónico. Pese a todo, cualquier objeto semejante proporcionaría en cualquier caso una mera aproximación. Detrás de tales aproximaciones a las formas platónicas —así hubiera parecido— estaría el propio espacio: una entidad de existencia tan abstracta o conceptual que muy bien podría haber sido considerada como una realización directa de una realidad platónica. La medida de distancia en esta geometría ideal sería algo a determinar; en consecuencia, sería apropiado tratar de extraer esta noción ideal de número real de una geometría del espacio que se suponía dada. De hecho, esto es lo que Eudoxo consiguió hacer.

No obstante, en los siglos XIX y XX había surgido la idea de que la noción matemática de número debería presentarse con independencia de la naturaleza del espacio físico. Puesto que se había demostrado que existían geometrías matemáticamente consistentes diferentes de la de Euclides, resultaba inoportuno insistir en que la noción matemática de «geometría» debería ser extraída necesariamente de la naturaleza supuesta del espacio físico «real». Además, podría ser muy difícil, si no imposible, establecer la naturaleza detallada de esta supuesta «geometría física platónica» subyacente en términos del comportamiento de objetos físicos imperfectos. Para conocer la naturaleza de los números de acuerdo con los cuales debe definirse la «distancia geométrica», por ejemplo, sería necesario saber qué sucede tanto a distancias infinitamente minúsculas como infinitamente grandes. Incluso hoy, estas cuestiones no tienen una clara respuesta (y las abordaré de nuevo en capítulos posteriores). Así pues, era mucho más oportuno establecer la naturaleza del número de un modo que no remitiera directamente a medidas físicas. En consecuencia, Richard Dedekind y Georg Cantor elaboraron sus ideas de lo que «son» los números reales mediante el uso de nociones que no se refieren directamente a la geometría.

Dedekind define un número real a partir de conjuntos infinitos de números racionales. Lo que se hace, básicamente, es considerar que los números racionales, tanto positivos como negativos (y el cero), están dispuestos en orden de tamaño. Podemos imaginar que este ordenamiento tiene lugar de izquierda a derecha, considerando que los racionales negativos se extienden indefinidamente hacia la izquierda, y los racionales positivos se extienden indefinidamente hacia la derecha, estando 0 en el centro. (Esto es solo para propósitos de visualización; de hecho, el procedimiento de Dedekind es completamente abstracto.) Dedekind imagina un «corte» que divide esta disposición claramente en dos, de modo que aquellos números que están a la izquierda del corte son más pequeños que los que están a la derecha. Cuando el «filo del cuchillo» que hace el corte no «incide» sobre un número racional sino que cae entre ellos, entonces decimos que define un número real irracional. Dicho de forma más correcta, esto ocurre cuando los que están a la izquierda no tienen un miembro máximo, y los que están a la derecha no tienen un miembro mínimo. Cuando se añade el sistema de los «irracionales», definidos en términos de tales «cortes», al sistema de los números racionales que ya teníamos, se obtiene la familia completa de los números reales.

El procedimiento de Dedekind conduce directamente, por medio de simples definiciones, a las leyes de adición, sustracción, multiplicación y división de números reales. Además, permite ir más allá y definir límites, mediante los cuales pueden asignarse significados en números reales a cosas tales como la fracción continua infinita que hemos visto antes

1 + (2 + (2 + (2 + (2 + …)^–1)^–1)^–1)^–1

o la suma infinita

De hecho, la primera nos da el número irracional y la segunda, π. La capacidad de tomar límites es fundamental para muchas nociones matemáticas, y es esto lo que da a los números reales su fuerza especial.[9] (Quizá el lector recuerde que la necesidad de «procedimientos de paso al límite» era un requisito para la definición general de áreas, como se ha indicado en §2.3).

3.3. LOS NÚMEROS REALES EN EL MUNDO FÍSICO

Aquí estamos tocando una cuestión profunda. Una fuerza impulsora inicial en el desarrollo de las ideas matemáticas ha sido siempre el intento de encontrar estructuras matemáticas que reflejen de forma precisa el comportamiento del mundo físico. Pero normalmente no es posible examinar el propio mundo físico con un detalle tan preciso que de él puedan extraerse directamente nociones matemáticas de la claridad adecuada. El progreso se produce más bien debido a que las nociones matemáticas tienden a tener un «impulso» propio que parece brotar casi por entero del interior de la propia disciplina. Las ideas matemáticas evolucionan, y varios tipos de problemas parecen surgir de forma natural. Algunos de estos (como sucedió con el problema de encontrar la longitud de la diagonal de un cuadrado) pueden llevar a una ampliación esencial de los propios conceptos matemáticos en cuyos términos se había formulado originalmente el problema. Puede parecer que tales ampliaciones nos vienen obligadas, o también pueden surgir de maneras que parecen ser cuestiones de conveniencia, consistencia o elegancia matemática. En consecuencia, podría parecer que el desarrollo de las matemáticas se aleja de lo que se habían propuesto conseguir, a saber: reflejar el comportamiento físico. Pero, en muchos casos, este mismo impulso hacia la consistencia y elegancia matemáticas nos lleva a estructuras y conceptos matemáticos que resultan reflejar el mundo físico de una forma mucho más profunda y de mayor alcance que aquellas de las que partimos. Es como si la propia naturaleza se guiara por el mismo tipo de criterios de consistencia y elegancia que guían al pensamiento matemático humano.

Un ejemplo de esto es el propio sistema de los números reales. No tenemos ninguna evidencia directa en la naturaleza de que haya una noción física de «distancia» que se extienda hasta escalas arbitrariamente grandes; menos evidencia hay aún de que semejante noción sea aplicable en el nivel infinitamente minúsculo. En realidad, no hay evidencia de que existan «puntos en el espacio» de acuerdo con una geometría que haga uso precisamente de distancias en números reales. En la época de Euclides había escasa evidencia para apoyar siquiera la pretensión de que tales «distancias» euclídeas se extendían hacia fuera hasta más allá de, digamos, unos 10¹² metros,[10] o hacia dentro, hasta algo tan pequeño como 10^–5 metros. Pero, al haber sido impulsadas matemáticamente por la consistencia y elegancia del sistema de los números reales, todas nuestras teorías físicas satisfactorias y de más amplio alcance hasta la fecha han seguido ateniéndose, sin excepción, a esta antigua noción de «número real». Aunque podría parecer que ha habido muy poca justificación para hacer esto a partir de la evidencia de que se disponía en la época de Euclides, nuestra fe en el sistema de los números reales parece haberse visto recompensada. En efecto, nuestras modernas y satisfactorias teorías cosmológicas nos permiten ahora ampliar el rango de nuestras distancias en números reales hasta aproximadamente 10²⁶ metros o más, mientras que la precisión de nuestras teorías de la física de partículas extiende este rango hacia dentro, hasta 10^–17 metros o menos. (La única escala para la que se ha propuesto con seriedad que podría llegar un cambio es de unos dieciocho órdenes de magnitud inferior a esta, a saber 10^–35 metros, que es la «escala de Planck» de la gravitación cuántica que cobrará una importancia especial en nuestras discusiones posteriores; por ejemplo, §§31.1,6-12,14 y §32.7.) Puede considerarse una notable justificación de nuestro uso de idealizaciones matemáticas el hecho de que el rango de validez del sistema de los números reales se ha ampliado desde un total de aproximadamente 10¹⁷, desde lo más pequeño a lo más grande, que parecía adecuado en la época de Euclides, hasta al menos los 10⁴³ que nuestras teorías actuales utilizan directamente, lo que supone un extraordinario incremento en un factor de 10²⁶.

Hay mucho más a favor de la validez física del sistema de los números reales. En primer lugar, debemos considerar que también las áreas y los volúmenes son magnitudes para las que convienen medidas muy precisas en números reales. Una medida de volumen es el cubo de una medida de distancia (y un área es el cuadrado de una distancia). En consecuencia, en el caso de los volúmenes podemos considerar que el intervalo relevante es el cubo del anterior. Así, para la época de Euclides esto nos daría un rango de aproximadamente (10¹⁷)³ = 10⁵¹; para las teorías actuales, el intervalo es al menos (10⁴³)³ = 10¹²⁹. Además, existen otras medidas físicas que requieren descripciones en números reales, según las teorías que hoy día resultan satisfactorias. La más digna de mención de estas es el tiempo. Según la teoría de la relatividad, este tiene que añadirse al espacio para que nos proporcione el espaciotiempo (que será objeto de nuestro estudio en el capítulo 17). Los volúmenes espaciotemporales son tetradimensionales, y muy bien podría considerarse que el rango temporal (de nuevo de aproximadamente 10⁴³ o más en rango total, en nuestras teorías mejor comprobadas) debería ser incorporado también en nuestras consideraciones, dando así un total del orden de 10¹⁷². Veremos algunos números reales todavía mucho mayores que este cuando lleguemos a nuestras consideraciones posteriores (véanse §27.13 y §28.7), aunque en algunos casos no esté realmente claro que sea esencial el uso de números reales (antes que, por ejemplo, enteros).

Más importante para la teoría física es el hecho de que, desde Arquímedes hasta Maxwell, Einstein, Schrödinger, Dirac y otros, pasando por Galileo y Newton, un papel crucial del sistema de los números reales ha consistido en proporcionar un marco necesario para la formulación estándar del cálculo infinitesimal (véase el capítulo 6). Todas las teorías dinámicas satisfactorias han requerido para su formulación las nociones del cálculo. Ahora bien, el enfoque convencional del cálculo requiere que la naturaleza infinitesimal de los reales sea la que es. Es decir, en el extremo inferior de la escala es el rango entero de los números reales el que está siendo utilizado. Las ideas del cálculo infinitesimal subyacen en otras nociones físicas, tales como velocidad, momento o energía. En consecuencia, el sistema de los números reales entra en nuestras teorías físicas satisfactorias de una manera fundamental para nuestra descripción de todas aquellas magnitudes. Aquí, como se ha mencionado antes en relación con las áreas, en §2.3 y §3.2, se está invocando el límite infinitesimal de la estructura a pequeña escala del sistema de los números reales.

Pese a todo, podemos seguir preguntándonos si el sistema de los números reales es realmente «correcto» para la descripción de la realidad física en sus niveles más profundos. Cuando empezaron a introducirse las ideas mecanocuánticas a comienzos del siglo XX, existía la sensación de que quizá entonces empezábamos a ser testigos de una naturaleza discreta o granular del mundo físico en sus escalas más pequeñas.[11] Aparentemente, la energía solo podía existir en paquetes discretos —o «cuantos»— y las magnitudes físicas de «acción» y «espín» parecen darse solo en múltiplos discretos de una unidad fundamental (véanse §§20.1,5 para el concepto clásico de acción y §26.6 para su contrapartida cuántica; véanse §§22.8-12 para el espín). Por ello, varios físicos intentaron construir una imagen alternativa del mundo en la que procesos discretos gobernaban todas las acciones en los niveles más ínfimos.

Sin embargo, y tal como ahora entendemos la mecánica cuántica, esta teoría no nos obliga (ni siquiera nos lleva) a la idea de que hay una naturaleza discreta o granular para el espacio, el tiempo o la energía en sus niveles más ínfimos (véanse los capítulos 21 y 22, en particular la última frase de §22.13). En cualquier caso, nos ha quedado la idea de que quizá haya realmente una discretización tal en la naturaleza, pese al hecho de que la mecánica cuántica, en su formulación estándar, no implica esto ni mucho menos. Por ejemplo, el gran físico cuántico Erwin Schrödinger fue uno de los primeros en sugerir que podría ser necesario un cambio hacia alguna forma de discretización espacial fundamental:[12]

La idea de un rango continuo, tan familiar para los matemáticos de nuestros días, es algo bastante exorbitante, una enorme extrapolación de lo que es accesible para nosotros.

Relacionó dichas propuestas con algunas ideas griegas antiguas relativas a la discretización de la naturaleza. También Einstein sugirió, en sus últimas palabras publicadas, que una teoría («algebraica») basada en la discretización podría ser el camino hacia la física futura:[13]

Se pueden dar buenas razones por las que la realidad no puede representarse como un campo continuo … Los fenómenos cuánticos … deben llevar a un intento de encontrar una teoría puramente algebraica para la descripción de la realidad. Pero nadie sabe cómo obtener la base de una teoría semejante.[14]

Otros[15] también han perseguido ideas de este tipo (véase §33.1). A finales de la década de 1950, yo mismo ensayé algo parecido, llegando a un esquema al que denominé teoría de «redes de espín», en la que la naturaleza discreta del espín mecanocuántico se toma como el bloque constituyente fundamental para un enfoque combinatorio (i.e., discreto en lugar de basado en números reales) de la física (este esquema se describirá brevemente en §32.6). Aunque mis propias ideas en esta dirección no se desarrollaron hasta convertirse en una teoría global (si bien en cierto sentido se metamorfosearon más tarde en la «teoría de twistores»; véase §33.2), la teoría de redes de espín ha sido ahora importada, por otros, en uno de los programas principales para atacar el problema fundamental de la gravitación cuántica.[16] Daré breves descripciones de estas ideas en el capítulo 32. En cualquier caso, tal como hoy se ensaya y pone a prueba la teoría física —y como lo ha sido durante los veinticuatro siglos pasados—, los números reales siguen constituyendo un ingrediente esencial en nuestra comprensión del mundo físico.

3.4. ¿NECESITAN LOS NÚMEROS NATURALES AL MUNDO FÍSICO?

En la descripción anterior, en §3.2, de la aproximación de Dedekind al sistema de los números reales, he supuesto que los números racionales se daban por «entendidos». De hecho, no es difícil pasar de los enteros a los racionales. Los racionales son simplemente razones de enteros (véase el prefacio). ¿Qué pasa entonces con los enteros propiamente dichos? ¿Están enraizados en ideas físicas? Incluso los enfoques discretos de la física, que se mencionaron en los dos párrafos anteriores, dependen de nuestra noción de número natural (i.e., «número para recuento») y su extensión, mediante la inclusión de los números negativos, a los enteros. Los griegos no consideraban los números negativos como «números» en acto, así que continuemos nuestras consideraciones preguntando primero por el estatus físico de los propios números naturales.

Los números naturales son las cantidades que ahora denotamos por 0, 1, 2, 3, 4, etc., i.e., son los números enteros no negativos. (Hoy se incluye al 0 en esta lista, lo que es apropiado desde el punto de vista matemático, aunque parece que los antiguos griegos no reconocieron el «cero» como un número en acto. Esto tuvo que esperar hasta los matemáticos hindúes de la India, empezando con Brahmagupta en el siglo VII y seguido de Mahavira y Bhaskara en los siglos IX y XII, respectivamente.) El papel de los números naturales es claro e inequívoco. Son los «números para recuento» más elementales, y tienen un papel básico, cualesquiera que puedan ser las leyes de la geometría o de la física. Los números naturales están sujetos a ciertas operaciones familiares, muy en especial las operaciones de adición (tal como 37 + 79 = 116) y multiplicación (por ejemplo, 37 × 79 = 2.923), que permiten combinar pares de números naturales para producir nuevos números naturales. Estas operaciones son independientes de la geometría del mundo.

No obstante, podemos plantear la cuestión de si los propios números naturales tienen un significado o existencia con independencia de la naturaleza real del mundo físico. Quizá nuestra noción de los números naturales depende de que en nuestro universo haya objetos discretos razonablemente bien definidos y que persisten en el tiempo. Después de todo, los números naturales aparecen inicialmente cuando queremos contar cosas. Pero esto parece depender de que existan realmente «cosas» persistentes y distinguibles en el universo que estén disponibles para ser «contadas». Supongamos, por el contrario, que nuestro universo fuera tal que el número de los objetos tuviese tendencia a variar. ¿Realmente serían los números naturales conceptos «naturales» en un universo semejante? Más aún, quizá el universo contenga solo un número finito de «objetos», en cuyo caso ¡los propios números «naturales» podrían terminar en algún punto! Podemos concebir incluso un universo que consista solo en una sustancia amorfa e indiferenciada, para la cual la noción misma de cuantificación numérica podría parecer intrínsecamente inadecuada. ¿Tendría la noción de «número natural» la más mínima relevancia para la descripción de universos de este tipo?

Aunque muy bien pudiera darse el caso de que los habitantes de un universo semejante encontraran difícil de captar nuestro concepto matemático presente de «número natural», es difícil imaginar que no siguiera habiendo un papel importante para entidades tan fundamentales. Hay varias formas de introducir los números naturales en las matemáticas puras, y estas no parecen depender en absoluto de la naturaleza real del mundo físico. Básicamente, es la noción de un «conjunto» la que necesita ser invocada, siendo esta una noción abstracta que no parece estar relacionada de ninguna manera esencial con la estructura específica del universo físico. De hecho, existen ciertas sutilezas, concernientes a esta cuestión, y volveré a ello más adelante (en §16.5). Por el momento, será conveniente ignorar tales sutilezas.

Consideremos un modo (anticipado por Cantor y defendido por el destacado matemático John von Neumann) de introducir los números naturales utilizando simplemente la noción abstracta de conjunto. Este procedimiento permite definir lo que se denominan «números ordinales». Al conjunto más simple de todos se le llama «conjunto nulo» o «conjunto vacío», y está caracterizado por el hecho de que ¡no contiene ningún miembro! El conjunto vacío se suele denotar por el símbolo Ø, y podemos escribir esta definición

Ø = { },

donde los corchetes delimitan un conjunto, el conjunto específico bajo consideración, que tiene como miembros las cantidades indicadas dentro de los corchetes. En este caso, no hay nada dentro de los corchetes, de modo que el conjunto descrito es realmente el conjunto vacío. Asociemos Ø con el número natural 0. Ahora podemos continuar y definir el conjunto cuyo único miembro es Ø; i.e., el conjunto {Ø}. Es importante darse cuenta de que {Ø} no es el mismo conjunto que el conjunto vacío Ø. El conjunto {Ø} tiene un miembro (a saber, Ø), mientras que el propio Ø no tiene ninguno. Asociemos {Ø} con el número natural 1. A continuación definimos el conjunto cuyos dos miembros son los dos conjuntos que ya hemos encontrado, a saber Ø y {Ø}, de modo que este nuevo conjunto es {Ø, {Ø}}, que será asociado con el número natural 2. Luego asociamos con 3 la colección de las tres entidades que hemos encontrado hasta ahora, a saber, el conjunto {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}, y con 4 el conjunto {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}}, cuyos miembros son de nuevo los conjuntos que hemos encontrado previamente, y así sucesivamente. Quizá no sea así como se consideran normalmente los números naturales, en cuanto a su definición, pero es una de las formas en que los matemáticos pueden llegar al concepto. (Compárese esto con la exposición del prefacio.) Más aún, nos muestra, al menos, que cosas como los números naturales[17] pueden ser extraídas literalmente de la nada, empleando solo la noción abstracta de «conjunto». Obtenemos una secuencia infinita de entidades matemáticas abstractas («platónicas»): conjuntos que contienen, respectivamente, cero, uno, dos, tres, etc., elementos, un conjunto por cada uno de los números naturales, de forma completamente independiente de la naturaleza física real del universo. En la Fig. 1.3 imaginábamos un tipo de «existencia» independiente para las nociones matemáticas platónicas —en este caso, los propios números naturales—, pero esta «existencia» puede ser extraída en apariencia, y ciertamente puede accederse a ella, por el mero ejercicio de nuestra imaginación, sin ninguna referencia a los detalles de la naturaleza del universo físico. Además, la construcción de Dedekind muestra cómo puede llevarse más lejos este tipo de procedimiento «puramente mental», lo que nos permite «construir» el sistema entero de los números reales,[18] sin ninguna referencia tampoco a la naturaleza física real del mundo. Pese a todo, y como se ha señalado antes, los «números reales» parecen tener realmente una relevancia directa para la estructura real del mundo, lo que ilustra la muy misteriosa naturaleza del «primer misterio» representado en la Fig. 1.3.

3.5. NÚMEROS DISCRETOS EN EL MUNDO FÍSICO

Pero me estoy adelantando un poco a mis propósitos. Podemos recordar que la construcción de Dedekind utilizaba realmente conjuntos de números racionales, y no directamente de números naturales. Como se ha mencionado antes, no es difícil «definir» lo que entendemos por número racional una vez que tenemos la noción de número natural. Pero, como paso intermedio, es oportuno definir la noción de entero, que es un número natural o el negativo de un número natural (siendo el número cero su propio negativo). En un sentido formal, no hay ninguna dificultad para dar una definición matemática de «negativo»: dicho de forma muy tosca, simplemente añadimos un «signo», escrito como «–», a cada número natural (excepto el 0) y definimos consistentemente todas las reglas aritméticas de adición, sustracción, multiplicación y división (excepto por cero). Sin embargo, esto no aborda la cuestión del «significado físico» de un número negativo. ¿Qué podría significar, por ejemplo, decir que hay menos tres vacas en un campo?

Creo que está claro que, a diferencia de los propios números naturales, no hay contenido físico evidente para la noción de un número negativo de objetos físicos. Ciertamente, los enteros negativos tienen un papel organizador extraordinariamente valioso, como se ve en los balances bancarios y otras transacciones financieras. Pero ¿tienen relevancia directa para el mundo físico? Cuando digo «relevancia directa», no me estoy refiriendo a circunstancias donde podría parecer que son los números reales negativos los que constituyen las medidas relevantes, como sucede cuando una distancia medida en una dirección cuenta como positiva mientras que medida en dirección contraria contaría como negativa (o lo mismo con respecto al tiempo, en cuyo caso el tiempo que se extiende hacia el pasado cuenta como negativo). Me estoy refiriendo más bien a números que son cantidades escalares, en el sentido de que no hay un aspecto direccional (o temporal) en la magnitud en cuestión. En estas circunstancias, parece ser que es el sistema de los enteros, tanto positivos como negativos, el que tiene relevancia física directa.

Resulta notable que solo en los últimos cien años aproximadamente se ha hecho manifiesto que el sistema de los enteros parece tener realmente una relevancia física directa. El primer ejemplo de una magnitud física que parece estar cuantificada apropiadamente por enteros es la carga eléctrica.[19] Hasta donde sabemos (aunque todavía no hay una completa justificación teórica para ello), la carga eléctrica de cualquier cuerpo discreto aislado está realmente cuantificada en términos de múltiplos enteros, positivos, negativos o nulos, de un valor concreto, a saber, la carga del protón (o del electrón, que es la negativa de la del protón).[20] Ahora pensamos que los protones son objetos compuestos construidos a partir de entidades más pequeñas conocidas como «quarks» (y otras entidades sin carga denominadas «gluones»). Hay tres quarks en cada protón, que tienen cargas eléctricas con valores respectivos de 2/3, 2/3, –1/3. La suma de estas cargas constituyentes da un valor total de 1 para el protón. Si los quarks son entidades fundamentales, entonces la unidad básica de carga es un tercio de la que parecíamos tener antes. En cualquier caso, sigue siendo cierto que la carga eléctrica se mide en términos de enteros, aunque ahora son múltiplos enteros de un tercio de la carga del protón. (El papel de los quarks y los gluones en la moderna física de partículas se discutirá en §§25.3-7.)

La carga eléctrica es solo un ejemplo de lo que se denomina un número cuántico aditivo. Los números cuánticos son cantidades que sirven para caracterizar a las partículas de la naturaleza. Un número cuántico semejante, que consideraré aquí que es un número real de algún tipo, es «aditivo» si para obtener su valor para una entidad compuesta sumamos simplemente los valores individuales de las partículas constituyentes —teniendo en cuenta debidamente, por supuesto, los signos, como en el caso del protón y sus quarks constituyentes que se ha señalado antes—. Es un hecho muy sorprendente, de acuerdo con el estado actual de nuestro conocimiento físico, que todos los números cuánticos aditivos conocidos[21] estén cuantificados realmente en términos del sistema de los enteros, no en términos de números reales en general, ni tampoco de simples números naturales, de modo que realmente se dan los valores negativos.

De hecho, según la física del siglo XX, ahora hay un sentido en el que tiene significado referirse a un número negativo de entidades físicas. El gran físico Paul Dirac propuso, en 1929-1931, su teoría de las antipartículas, según la cual (tal como se entendió posteriormente) por cada tipo de partícula existe también su correspondiente antipartícula para la que cada número cuántico aditivo tiene exactamente el negativo del valor que tiene para la partícula original (véanse §§24.2,8). Así pues, el sistema de los enteros (incluidos los negativos) parece tener realmente una clara relevancia para el universo físico, una relevancia física que se ha hecho manifiesta solo en el siglo XX, a pesar de los muchos siglos durante los cuales los enteros han encontrado gran valor en las matemáticas, el comercio y muchas otras actividades humanas.

Llegados a este punto, habría que hacer una matización importante. Aunque es verdad que, en cierto sentido, un antiprotón es un protón negativo, no es realmente «menos un protón». La razón está en que la inversión de signo se refiere solo a los números cuánticos aditivos, mientras que la noción de masa no es aditiva en la teoría física moderna. Esta cuestión será explicada de manera más detallada en §18.7. «Menos un protón» tendría que ser un antiprotón cuya masa fuera el negativo del valor de la masa de un protón ordinario. Pero la masa de una partícula física real no puede ser negativa. Un antiprotón tiene la misma masa que un protón ordinario, que es una masa positiva. Veremos más adelante que, según las ideas de la teoría cuántica de campos, existen objetos denominados partículas «virtuales» para los que la masa (o, más correctamente, la energía) puede ser negativa. «Menos un protón» sería realmente un antiprotón virtual. Pero una partícula virtual no tiene una existencia independiente como la de una «partícula real».

Ahora nos haremos la correspondiente pregunta acerca de los números racionales. ¿Ha encontrado este sistema de números cualquier relevancia directa para el universo físico? Hasta donde sabemos, no parece que sea así, al menos en lo que respecta a la teoría convencional. Existen algunas curiosidades físicas[22] en las que la familia de los números racionales desempeña su papel, pero sería difícil sostener que esto revela algún papel físico fundamental para los números racionales. Por otra parte, pudiera ser que hubiera un papel especial para los racionales en las probabilidades mecanocuánticas fundamentales (donde una probabilidad racional representa una elección entre alternativas, cada una de las cuales implica solo un número finito de posibilidades). Este tipo de cosas desempeña un papel en la teoría de las redes de espín, como se describirá brevemente en §32.6. De momento, el estatus adecuado de estas ideas no está claro.

Pese a todo, existen otros tipos de números que, según la teoría aceptada, sí parecen desempeñar un papel fundamental en la marcha del universo. Los más importantes y sorprendentes de estos son los números complejos, en los que se introduce la cantidad aparentemente mística , normalmente denotada por «i», y se añade al sistema de los números reales. Encontrados por primera vez en el siglo XVI, pero tratados con desconfianza durante cientos de años, la utilidad matemática de los números complejos impresionó poco a poco a la comunidad matemática en un grado cada vez mayor, hasta que los números complejos se convirtieron en un ingrediente indispensable y casi mágico de nuestro pensamiento matemático. Y ahora encontramos que no solo son fundamentales para las matemáticas: estos extraños números desempeñan también un papel extraordinario y muy básico en el funcionamiento del universo físico en sus escalas más ínfimas. Esto produce asombro, y como ejemplo de la convergencia entre ideas matemáticas y los mecanismos más profundos del universo físico es más sorprendente incluso que el sistema de números reales que hemos estado considerando en esta sección. Vayamos ahora a estos números notables.

Notas

Sección 3.1

3.1.Las notaciones >, <, ≥, ≤, frecuentemente utilizadas en este libro, representan, respectivamente, «es mayor que», «es menor que», «es mayor o igual que» y «es menor o igual que».

3.2.Algunos lectores quizá conozcan un argumento aparentemente más corto que empieza exigiendo que a/b esté «en sus menores términos» (i.e., que a y b no tengan factores comunes). Sin embargo, esto supone que esta expresión en términos menores existe siempre, lo que, aunque sea completamente cierto, necesita ser demostrado. Encontrar una expresión en términos menores para una fracción dada A/B (implícita o explícitamente, utilizando el algoritmo de Euclides, pongamos por caso; véanse, por ejemplo, Hardy y Wright, 1945, p. 134; Davenport, 1952, p. 26; Littlewood, 1949, cap. 4, y Penrose, 1989, cap. 2) implica un razonamiento similar al dado en el texto, aunque más complicado.

3.3.Podría objetarse que resulta algo curioso utilizar números reales en la demostración anterior, puesto que los «racionales reales» (i.e., cocientes de reales) serían de nuevo números reales simplemente. Esto no invalida, sin embargo, lo que se acaba de decir. Puede señalarse que, en el argumento original, a y b se tomaban además enteros, y no racionales en sí mismos. En efecto, si a y b fueran meramente racionales, el argumento fallaría en la parte de la «secuencia decreciente», incluso si el propio resultado siguiera siendo cierto.

Sección 3.2

3.4.En una ojeada informal, expresiones como a + (b + (c + (d + …)^–1)^–1)^–1 pueden parecer bastante extrañas. Sin embargo, son muy naturales en el contexto del pensamiento griego antiguo (aunque los griegos no utilizaban esta notación concreta). El algoritmo de Euclides se ha mencionado en la nota 3.2 en el contexto de encontrar la forma en términos más sencillos de una fracción. El algoritmo de Euclides (cuando se desenmaraña) lleva precisamente a dicha expresión como fracción continua. Los griegos aplicarían este mismo procedimiento a la razón de dos longitudes geométricas. En el caso más general, el resultado sería una fracción continua infinita, del tipo considerado aquí.

3.5.Para más información (con demostraciones) sobre fracciones continuas, véase la elegante exposición dada en el capítulo 4 de Davenport (1952). Puede señalarse que en ciertos aspectos la representación como fracciones continuas de los números reales es más profunda e interesante que la normal en términos de desarrollos decimales, y encuentra aplicaciones en muchas áreas diferentes de las matemáticas modernas, incluida la geometría hiperbólica examinada en §§2.4,5. Por otra parte, las fracciones continuas no son en absoluto apropiadas para (la mayor parte de) los cálculos prácticos, pues la representación decimal convencional es mucho más fácil de utilizar.

3.6.Los irracionales cuadráticos se denominan así porque aparecen en la solución de una ecuación cuadrática general

Ax² + Bx + C = 0,

con A distinto de cero, cuya solución es

donde, para permanecer dentro del dominio de los números reales, debemos tener B² mayor que 4AC. Cuando A, B y C son números enteros o racionales, y no hay solución racional para la ecuación, las soluciones son irracionales cuadráticos.

3.7.El profesor Stelios Negrepontis me informa de que esta evidencia se encuentra en el diálogo platónico El político, el tercero en la «trilogía» Teeteto-El sofista-El político. Véase Negrepontis (2000).

3.8.Para una exposición del pensamiento griego antiguo sobre la naturaleza del espacio, véase Sorabji (1983, 1988).

3.9.Véanse Hardy (1914), Conway (1976) y Burkill (1962).

Sección 3.3

3.10.La notación científica «10¹²» para «un millón de millones» hace uso de exponentes, como se describe en las notas 1.2 y 2.4. En este libro tenderé a evitar términos verbales tales como «millón», y en especial «billón», dando preferencia a esta notación científica mucho más clara. La palabra «billón» es particularmente confusa, pues en su uso estadounidense —ahora comúnmente adoptado también en el Reino Unido— «billón» se refiere a 10⁹, mientras que en el uso más antiguo (y más lógico) en el Reino Unido, de acuerdo con la mayoría de las restantes lenguas europeas, se refiere a 10¹². Los exponentes negativos, tales como en 10^–6 (que se refiere a una «millonésima»), se utilizan también aquí de acuerdo con la notación científica normal.

La distancia 10¹² metros es aproximadamente 7 veces la separación entre la Tierra y el Sol. Esta es aproximadamente la distancia al planeta Júpiter, aunque no era conocida en tiempos de Euclides y se hubiera conjeturado mucho menor.

3.11.Véase, por ejemplo, Russell (1903), cap. 4.

3.12.Schrödinger (1952), pp. 30-31.

3.13.Véase Stachel (1995).

3.14.Einstein (1955), p. 166.

3.15.Véanse, por ejemplo, Snyder (1947), Schild (1949) y Ahmavaara (1965).

3.16.Véanse Ashtekar (1986), Ashtekar y Lewandowski (2004), Smolin (1998, 2001) y Rovelli (1998, 2003).

Sección 3.4

3.17.La noción de «número ordinal», proporcionada aquí en el caso finito, se extiende también a números ordinales infinitos, de los que el menor es el «ω» de Cantor, que es la colección ordenada de todos los ordinales finitos.

3.18.No obstante, esta noción de «constructo» no debería tomarse en un sentido demasiado fuerte. En §16.6 encontraremos que hay ciertos números reales (de hecho, la mayoría de ellos) que son inaccesibles mediante cualquier procedimiento computacional.

Sección 3.5

3.19.El físico irlandés George Johnstone Stoney fue el primero, en 1874, en dar una (cruda) estimación de la carga eléctrica básica y, en 1891, acuñó el término «electrón» para esta unidad fundamental. En 1909, el físico estadounidense Robert Andrews Millikan diseñó su famoso experimento de la «gota de aceite», que demostró de forma precisa que la carga en cuerpos eléctricamente cargados (las gotas de aceite en su experimento) se da en múltiplos enteros de un valor bien definido: la carga del electrón.

3.20.En 1959, R.A. Lyttleton y H. Bondi propusieron que una ligerísima diferencia entre la carga del protón y (menos) la del electrón, del orden de una parte en 10¹⁸, podría explicar la expansión del universo (para la cual, véanse §§27.11,13, y el capítulo 28). Véase Lyttleton y Bondi (1959). Por desgracia para esta teoría, semejante discrepancia fue pronto refutada en varios experimentos. De todas formas, esta idea proporcionó un excelente ejemplo de pensamiento creativo.

3.21.Aquí estoy distinguiendo los números cuánticos «aditivos» de los números que los físicos llaman «multiplicativos», a los que llegaremos en §5.5.

3.22.Por ejemplo, en el «efecto Hall cuántico fraccionario» se observa que los números fraccionarios desempeñan un papel clave; véase, por ejemplo, Fröhlich y Pedrini (2000).

4

Los mágicos números complejos

4.1. EL MÁGICO NÚMERO «i»

¿Cómo es posible que –1 tenga una raíz cuadrada? El cuadrado de un número positivo es siempre positivo, y el cuadrado de un número negativo es también positivo (y el cuadrado de 0 es simplemente 0, de modo que de poco nos sirve aquí). Parece imposible que podamos encontrar un número cuyo cuadrado sea realmente negativo. Sin embargo, esta es una situación similar a la que hemos visto antes, cuando hemos establecido que 2 no tiene una raíz cuadrada dentro del sistema de los números racionales. En ese caso hemos resuelto la situación ampliando nuestro sistema de números desde los racionales a un sistema mayor, y hemos establecido el sistema de los reales. Tal vez el mismo truco funcione de nuevo.

Realmente lo hace. De hecho, lo que tenemos que hacer es algo mucho más fácil y menos drástico que el paso de los racionales a los reales. (Raphael Bombelli introdujo el procedimiento en 1572 en su obra L’Algebra, siguiendo los encuentros originales de Girolamo Cardano con los números complejos en su Ars magna de 1545.) Todo lo que tenemos que hacer es introducir una simple cantidad, llamada «i» cuyo cuadrado sea –1, y añadirla al sistema de los reales, permitiendo combinaciones de i con números reales para formar expresiones de la forma

a + ib,

donde a y b son números reales arbitrarios. Cualquiera de estas combinaciones se denomina un número complejo. Es fácil ver cómo se suman los números complejos:

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),

que es de la misma forma que antes (pero ahora los números reales a + + c y b + d toman el lugar de los «a» y «b» que teníamos en nuestra expresión original). ¿Qué pasa con la multiplicación? Es casi igual de fácil. Vamos a encontrar el producto de a + ib por c + id. En primer lugar, multiplicamos simplemente estos factores, desarrollando la expresión mediante el uso de las reglas ordinarias del álgebra:[1]

        (a + ib)(c + id) = ac + ibc + aid + ibid

                                                 = ac + i(bc + ad) + i²bd.

Pero i² = –1, de modo que podemos reescribir esto como

(a + ib)(c + id) = (ac – bd) + i(bc + ad),

que de nuevo tiene la misma forma que nuestro a + ib original, pero donde ac – bd toma el lugar de a y bc + ad toma el lugar de b.

Es bastante fácil restar dos números complejos, pero ¿qué pasa con la división? Recordemos que en la aritmética ordinaria nos está permitido dividir por cualquier número real distinto de cero. Tratemos ahora de dividir el número complejo a + ib por el número complejo c + id. Debemos tomar este último distinto de cero, lo que significa que los números reales c y d no pueden ambos ser cero. Entonces, c² + d² > 0, y por consiguiente c² + d² ≠ 0, de modo que podemos dividir por c² + d². Es un ejercicio directo[4.1] comprobar (multiplicando ambos miembros de la expresión por c + id) que

Esta expresión es de la misma forma que antes, de modo que es de nuevo un número complejo.

Cuando nos acostumbramos a jugar con estos números complejos, dejamos de pensar en a + ib como un «par» de objetos, a saber, los dos números reales a y b; ahora pensamos en a + ib como un «objeto» completo autónomo, de modo que podríamos utilizar una sola letra, digamos z, para denotar el número complejo global z = a + ib. Puede comprobarse que todas las reglas usuales del álgebra son satisfechas por los números complejos.[4.2] De hecho, todo esto es mucho más sencillo que comprobar cada una de estas cosas para los números reales. (Para esa comprobación, suponemos que ya estábamos convencidos de que las reglas del álgebra son satisfechas por las fracciones, y luego tenemos que utilizar «cortaduras» de Dedekind para demostrar que las reglas siguen funcionando para los números reales.) Desde este punto de vista, resulta bastante extraño que los números complejos se vieran con recelo durante mucho tiempo, mientras que la mucho más complicada ampliación de las racionales a los reales había sido aceptada sin problemas después de la época de la Grecia antigua.

Presumiblemente, el motivo de este recelo era que la gente no podía «ver» que los números complejos se les presentasen de un modo obvio en el mundo físico. En el caso de los números reales existía la sensación de que las distancias, los tiempos y otras magnitudes físicas proporcionaban la realidad que tales números requerían; pero los números complejos parecían ser entidades meramente «inventadas», sacadas de la imaginación de los matemáticos que deseaban números con un alcance mayor que los que ya conocían. Pero habría que recordar de §3.3 que la conexión que tienen los números reales matemáticos con aquellos conceptos físicos de longitud o tiempo no es tan clara como habíamos imaginado. No podemos ver directamente los mínimos detalles de una cortadura de Dedekind, ni está claro que realmente existan en la naturaleza longitudes o tiempos arbitrariamente grandes o arbitrariamente pequeños. Se podría decir que los denominados «números reales» son tan producto de la imaginación de los matemáticos como lo son los números complejos. Pese a todo, encontraremos que los números complejos, tanto como los reales, y quizá más incluso, componen una notable unidad con la naturaleza. Es como si la propia naturaleza estuviera tan impresionada por el alcance y consistencia del sistema de los números complejos como lo estamos nosotros, y hubiera confiado a estos números las operaciones detalladas de su mundo en sus escalas más minúsculas. En los capítulos 21-23 veremos en detalle cómo funciona esto.

Además, mencionar solo el alcance y la consistencia de los números complejos no hace justicia a este sistema. Hay algo más que, en mi opinión, solo puede ser calificado de «mágico». En lo que queda de este capítulo y en el siguiente, me propongo transmitir al lector algo del sabor de esta magia. Más adelante, en los capítulos 7-9, seremos testigos de nuevo de esta magia de los números complejos en algunas de sus más sorprendentes e inesperadas manifestaciones.

Durante los cuatro siglos que hace que se conoce el sistema de los números complejos, muchas cualidades mágicas se han ido revelando poco a poco. Pero esta es una magia que se percibía dentro de las matemáticas, y ofrecía realmente una utilidad y una profundidad de intuición matemática que no podía conseguirse solo con el uso de los reales. No había ninguna razón para esperar que el mundo físico estuviera interesado en ello. Y durante los aproximadamente trescientos cincuenta años transcurridos desde la época en que dichos números fueron introducidos en las obras de Cardano y Bombelli, la magia del sistema de los números complejos solo fue percibida a través de su papel matemático. Para todos aquellos que se habían mostrado recelosos de los números complejos habría sido sin duda una sorpresa encontrar que, según la física de los últimos tres cuartos del siglo XX, las leyes que gobiernan el comportamiento del mundo en sus escalas más minúsculas dependen fundamentalmente del sistema de los números complejos.

Estos temas serán capitales para algunas de las secciones posteriores de este libro (especialmente en los capítulos 21-23, 26 y 31-33). Por el momento nos concentraremos en una parte de la magia matemática de los números complejos y dejaremos su magia física para más adelante. Recordemos que todo lo que hemos hecho es exigir que –1 tenga una raíz cuadrada, además de exigir que se mantengan las leyes usuales de la aritmética, y hemos descubierto que dichas exigencias pueden satisfacerse de forma consistente. Esto parece algo bastante simple de hacer. ¡Pero pasemos a la magia!

4.2. RESOLVIENDO ECUACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

En lo que sigue, será necesario introducir una notación algo más matemática que la utilizada hasta ahora. Pido disculpas por ello. Sin embargo, difícilmente pueden transmitirse ideas matemáticas serias sin cierta cantidad de notación. Soy consciente de que habrá muchos lectores que se sientan incómodos con ello. Mi consejo para tales lectores es que tan solo lean el texto y no se preocupen demasiado por tratar de entender las ecuaciones. Cuando menos, lean por encima las diversas fórmulas y sigan adelante. De hecho, habrá numerosas expresiones matemáticas serias desperdigadas a lo largo de este libro, especialmente en algunos de los últimos capítulos. Creo que, con el tiempo, empezarán a calar ciertas dosis de conocimiento si se hace un pequeño intento por entender lo que todas las expresiones significan realmente. Así lo espero, porque la magia de los números complejos es un milagro que vale la pena apreciar. Si usted puede entender la notación matemática, entonces mucho mejor.

Antes de nada, podemos preguntarnos si otros números tienen raíces cuadradas. ¿Qué pasa, por ejemplo, con –2? Esto es fácil. El número complejo i ciertamente tiene –2 como cuadrado, y también lo tiene –i. Más aún, para cualquier número real positivo a, el número complejo i tiene como cuadrado –a, y lo mismo sucede con –i. No hay aquí ninguna magia. Pero ¿qué pasa con el número complejo más general a + ib (donde a y b son reales)? Encontramos que el número complejo

tiene como cuadrado a + ib (y lo mismo sucede con su negativo).[4.3] Así pues, vemos que incluso si solo añadimos una raíz cuadrada para una cantidad (a saber –1), ¡encontramos que todos los números del sistema resultante tienen ahora automáticamente una raíz cuadrada! Esto es muy diferente de lo que sucedía al pasar de los racionales a los reales. En este caso, la mera introducción de la cantidad en el sistema de los racionales no nos hubiera llevado casi a ninguna parte.

Pero esto es solo el principio. Podemos preguntarnos sobre raíces cúbicas, raíces quintas, raíces 999-ésimas, raíces π-ésimas —e incluso raíces i-ésimas—. Milagrosamente, encontramos que para cualquier raíz compleja que escojamos y cualquier número complejo al que la apliquemos (excluyendo el 0), hay siempre una solución compleja a este problema. (De hecho, normalmente habrá varias soluciones diferentes al problema, como veremos dentro de poco. Antes he señalado que para raíces cuadradas teníamos dos soluciones, pues el negativo de la raíz cuadrada de un número complejo z es también una raíz cuadrada de z. Para raíces más altas hay más soluciones; véase §5.4.)

Apenas estamos arañando todavía en la superficie de la magia de los números complejos. Lo que acabo de afirmar es realmente muy fácil de establecer (una vez que tengamos la noción del logaritmo de un número complejo, como veremos en el capítulo 5). Algo más notable es el denominado «teorema fundamental del álgebra», que afirma que cualquier ecuación polinómica, tal como

1 – z + z⁴ = 0

o

debe tener soluciones con números complejos. Dicho de forma más explícita, siempre habrá una solución (y normalmente varias diferentes) para cualquier ecuación de la forma

a₀ + a₁z + a₂z² + a₃z³ + … + a_nzⁿ = 0,

donde a₀, a₁, a₂, a₃, …, an son números complejos dados, con el an tomado no nulo.[2] (Aquí n puede ser cualquier entero positivo que escojamos, tan grande como queramos.) Deberíamos recordar, por comparación, que «i» fue introducida simplemente para proporcionar una solución a la ecuación particular

1 + z² = 0.

¡Todo lo demás lo obtenemos gratis!

Antes de seguir adelante vale la pena mencionar el problema que interesaba a Cardano, aproximadamente en 1539, cuando encontró por primera vez los números complejos y captó un indicio de otro aspecto de sus propiedades mágicas inherentes. Dicho problema era, en efecto, encontrar una expresión para la solución general de una ecuación (real) cúbica (i.e., n = 3, en el caso anterior). Cardano encontró que la cúbica general podía reducirse mediante una sencilla transformación a la forma

x³ = 3px + 2q

Aquí p y q son números reales (y he vuelto a utilizar x en la ecuación, en lugar de z, para indicar que ahora estamos interesados en soluciones reales en lugar de complejas). La solución completa de Cardano (tal como la publicó en 1545 en su libro Ars magna) parece haber sido desarrollada a partir de una solución parcial anterior que había aprendido en 1539 de Niccolò Fontana («Tartaglia»), aunque esta solución parcial (y quizá incluso la solución completa) había sido encontrada previamente (antes de 1526) por Scipione del Ferro.[3] La solución de (Del Ferro-)Cardano era en esencia la siguiente (escrita en notación moderna):

donde

Esta ecuación no plantea ningún problema fundamental dentro del sistema de los números reales si

q² ≥ p³.

En este caso solo hay una solución real x a la ecuación, y viene dada correctamente por la fórmula de (Del Ferro-)Cardano expuesta antes. Pero si

q² < p³,

el denominado caso irreducible, entonces, aunque ahora hay tres soluciones reales, la fórmula incluye la raíz cuadrada del número negativo q² – p³ y por ello no puede ser utilizada sin introducir los números complejos. De hecho, como Bombelli demostró más tarde (en el capítulo 2 de L’Algebra de 1572), si admitimos los números complejos, entonces las tres soluciones reales están correctamente expresadas por la fórmula.[4] (Esto tiene sentido porque la expresión nos proporciona dos números complejos sumados, y las partes que contienen «i» se cancelan en la suma para dar una respuesta real.)[5] Lo que hay de misterioso en esto es que, aunque pudiera parecer que el problema no tiene nada que ver con los números complejos —pues la ecuación tiene coeficientes reales y todas sus soluciones son reales (en este caso, «irreducible»)—, tenemos que viajar por este territorio en apariencia ajeno del mundo de los números complejos para que la fórmula nos permita regresar con nuestras soluciones puramente reales. Si nos hubiéramos restringido al recto y estrecho camino «real», habríamos vuelto con las manos vacías. (Resulta irónico que solo puede haber soluciones complejas a la ecuación original en aquellos casos en que la fórmula no implica necesariamente este viaje por los complejos.)

4.3. CONVERGENCIA DE SERIES DE POTENCIAS

A pesar de estos hechos notables, aún no hemos ido muy lejos en la magia de los números complejos. ¡Queda mucho más por venir! Por ejemplo, algo en que los números complejos resultan verdaderamente inestimables es en ofrecer una comprensión del comportamiento de lo que se denominan series de potencias. Una serie de potencias es una suma infinita de la forma

a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + …

Puesto que esta suma implica un número infinito de términos, puede darse el caso de que la serie diverja, lo que significa que no se asienta en un valor particular finito a medida que se suman más términos. Por ejemplo, consideremos la serie

1 + x² + x⁴ + x⁶ + x⁸ + …

(donde he tomado a₀ = 1, a₁ = 0, a₂ = 1, a₃ = 0, a₄ = 1, a₅ = 0, a₆ = = 1, …). Si hacemos x = 1, entonces, sumando los términos sucesivamente, obtenemos

1, 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3,

1 + 1 + 1 + 1 = 4, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5, etc.,

y vemos que la serie no tiene posibilidad de asentarse en un valor particular finito, es decir, es divergente. Las cosas son aún peores si probamos con x = 2, por ejemplo, puesto que ahora los términos individuales son más grandes, y sumando términos sucesivamente obtenemos

1, 1 + 4 = 5, 1 + 4 + 16 = 21, 1 + 4 + 16 + 64 = 85, etc.,

que claramente diverge. Por el contrario, si hacemos x = 1/2, obtenemos

y resulta que estos números se acercan cada vez más al valor límite 4/3, de modo que la serie es ahora convergente.

Con esta serie no es difícil darse cuenta de que, en cierto sentido, hay una razón subyacente por la que la serie no puede sino divergir para x = 1 y x = 2, mientras que converge para x = 1/2 para dar la respuesta 4/3. En efecto, podemos escribir explícitamente la «respuesta» a la suma de toda la serie, encontrando[4.4]

1 + x² + x⁴ + x⁶ + x⁸ + … = (1 – x²)^–1.

Cuando sustituimos x = 1, encontramos que esta respuesta es (1 – 1²)^–1 = 0^–1, que es «infinito»,[6] y esto nos permite entender por qué la serie tiene que divergir para ese valor de x. Cuando sustituimos x = 1/2, la respuesta es (1 – 1/4)^–1 = 4/3, y la serie converge realmente a este valor concreto, tal como se ha establecido antes.

Todo esto parece muy razonable. Pero ¿qué pasa con x = 2? Ahora hay una «respuesta» dada por la fórmula explícita, a saber, (1 – 4)^–1 = = –1/3, aunque no parece que obtengamos dicho valor sumando simplemente los términos de la serie. Difícilmente podríamos obtener esta respuesta porque estamos sumando cantidades positivas, mientras que –1/3 es negativo. La razón de que la serie diverja es que, cuando x = 2, cada término es mayor que el término correspondiente para x = 1, de modo que la divergencia para x = 2 se sigue lógicamente de la divergencia para x = 1. En el caso x = 2 no se trata de que la «respuesta» sea realmente infinita, sino de que no podemos llegar a esta respuesta intentando sumar la serie directamente. En la Fig. 4.1 he representado las sumas parciales de la serie (i.e., las sumas hasta cierto número finito de términos), sucesivamente hasta cuatro términos, al lado de la «respuesta» (1 – x²)^–1 y podemos ver que, con tal de que x esté comprendida estrictamente[7]> entre los valores –1 y +1, las curvas que muestran estas sumas parciales convergen realmente a esta respuesta, a saber (1 – x²)^–1, como cabía esperar. Pero fuera de este intervalo, la serie simplemente diverge y no llega realmente a ningún valor finito.

A modo de pequeña digresión, será útil abordar aquí una cuestión que tendrá importancia para nosotros más adelante. Planteemos la siguiente pregunta: la ecuación que obtenemos haciendo x = 2 en la expresión anterior, es decir,

¿tiene sentido realmente? El gran matemático del siglo XVIII Leonhard Euler solía escribir ecuaciones como esta, y llegó a ser una moda hacer bromas a su costa por sostener tales absurdos, aunque se le podrían perdonar sobre la base de que en aquellos primeros días no se entendía adecuadamente nada relativo a la «convergencia» de series y cosas similares. De hecho, lo cierto es que el tratamiento matemático riguroso de las series no llegó hasta finales del siglo XVIII y principios del XIX, con la obra de Augustin Cauchy y otros. Además, según este tratamiento riguroso, la ecuación anterior sería clasificada oficialmente como «sin sentido». Pese a todo, creo que es importante darse cuenta de que, en el sentido adecuado, Euler sabía bien lo que estaba haciendo cuando escribía absurdos aparentes de esta naturaleza, y que hay sentidos en los que la ecuación anterior debe considerarse «correcta».

En matemáticas es realmente imperativo dejar absolutamente claro que las ecuaciones que se obtienen tienen un sentido estricto y preciso. Sin embargo, es asimismo importante no ser insensible a «lo que sucede fuera de escena», que puede, en última instancia, llevar a intuiciones más profundas. Es fácil perder de vista tales cosas si nos atenemos de forma demasiado rígida a lo que parece ser estrictamente lógico, como es el hecho de que la suma de los términos positivos 1 + 4 + 16 + 64 + 256 + … no puede ser –1/3 de ningún modo. Como ejemplo pertinente, recordemos el absurdo lógico de encontrar una solución real a la ecuación x² + 1 = 0. No hay solución; pero si nos quedamos en esto, perderemos todas las intuiciones profundas que proporciona la introducción de los números complejos. Un comentario similar es aplicable a lo absurdo de una solución racional a x² = 2. De hecho, es perfectamente posible dar un sentido matemático a la respuesta «–1/3» a la serie infinita anterior, pero hay que tener cuidado con las reglas que nos dicen lo que está permitido y lo que no está permitido. No es mi intención discutir aquí estas cuestiones en detalle,[8] pero habría que señalar que en la física moderna, especialmente en el área de la teoría cuántica de campos, es frecuente encontrar series divergentes de este tipo (véanse especialmente §§26.7,9 y §§31.2,13). Es una cuestión muy delicada la de decidir si las «respuestas» que se obtienen de este modo son realmente significativas y, además, realmente correctas. A veces se obtienen respuestas muy precisas manipulando tales expresiones divergentes, y en ocasiones son sorprendentemente confirmadas al compararlas con experimentos físicos reales. Otras veces, por el contrario, no se tiene tanta suerte. Estas delicadas cuestiones desempeñan papeles importantes en las teorías físicas actuales y son muy relevantes en nuestros intentos de evaluarlas. El punto de relevancia inmediata para nosotros aquí es que el «sentido» que podemos ser capaces de atribuir a semejantes expresiones aparentemente sin significado depende con frecuencia, y de un modo esencial, de las propiedades de los números complejos.

Volvamos ahora a la cuestión de la convergencia de series, y tratemos de ver cómo encajan los números complejos en la imagen. Para ello, consideremos una función tan solo ligeramente diferente de (1 – x²)^–1, a saber (1 + x²)^–1, y tratemos de ver si tiene un desarrollo en serie de potencias razonable. Ahora parece haber una mejor oportunidad de convergencia completa, puesto que (1 + x²)^–1 se mantiene suave y finita sobre todo el intervalo de los números reales. Existe, de hecho, una serie de potencias de apariencia sencilla para (1 + x²)^–1, tan solo ligeramente diferente de la que teníamos antes, a saber

1 – x² + x⁴ – x⁶ + x⁸ – … = (1 + x²)^–1,

donde la diferencia es meramente un cambio de signo en términos alternos.[4.5] En la Fig. 4.2 he representado las sumas parciales de la serie, sucesivamente hasta cinco términos, de modo similar a lo que hemos hecho antes, junto con esta respuesta (1 + x²)^–1. Lo que parece sorprendente es que las sumas parciales siguen convergiendo a la respuesta solo en el intervalo estricto entre los valores –1 y +1 . Parece que vamos a obtener una divergencia fuera de este intervalo, incluso si la respuesta no tiende ni mucho menos a infinito, a diferencia de nuestro caso anterior. Podemos comprobar esto de forma explícita utilizando los mismos tres valores x = 1, x = 2, x = 1/2 que hemos utilizado antes, encontrando que, como antes, la convergencia ocurre solo en el caso x = 1/2, para el que la respuesta da correctamente el valor límite 4/5 para la suma de la serie entera:

Advertimos que la «divergencia» en el primer caso consiste simplemente en que las sumas parciales de la serie no llegan nunca a asentarse, aunque no divergen realmente a infinito.

Así pues, si solo se consideran números reales, hay una discrepancia enigmática entre sumar realmente la serie y pasar directamente a la «respuesta» que se supone que representa la suma infinita de la serie. Las sumas parciales simplemente «despegan» (o más bien oscilan incontroladamente arriba y abajo) precisamente en los mismos lugares (a saber, x = ±1) donde surgían problemas en el caso anterior, aunque ahora la supuesta respuesta a la suma infinita, a saber (1 + x²)^–1, no muestra ninguna característica notable en dichos lugares. Encontraremos la solución a este misterio si examinamos valores complejos de esta función en lugar de restringir nuestra atención a los reales.

4.4. EL PLANO COMPLEJO DE CASPAR WESSEL

Para ver lo que está pasando aquí, será importante utilizar la ahora estándar representación geométrica de los números complejos en el plano euclídeo. Caspar Wessel en 1797, Jean Robert Argand en 1806, John Warren en 1828 y Carl Friedrich Gauss mucho antes de 1831 dieron todos ellos, de forma independiente, con la idea del plano complejo (véase la Fig. 4.3), en el que ofrecieron interpretaciones geométricas claras de las operaciones de adición y multiplicación de números complejos. En la Fig. 4.3 he utilizado ejes cartesianos estándar, con el eje x apuntando horizontalmente hacia la derecha y el eje y apuntando verticalmente hacia arriba. El número complejo

z = x + iy

viene representado como el punto del plano con coordenadas cartesianas (x, y).

Ahora tenemos que considerar un número real x como un caso particular del número complejo z = x + iy en el que y = 0. Así pues, tenemos que considerar que el eje x de nuestro diagrama representa la recta real (i.e., la totalidad de los números reales, ordenados linealmente a lo largo de una recta). El plano complejo nos da así una representación gráfica directa de cómo se amplía el sistema de los números reales para convertirse en el sistema completo de los números complejos. Esta recta real se suele conocer como el «eje real» en el plano complejo. En correspondencia, el eje y se conoce como el «eje imaginario». Consiste en todos los múltiplos de i por un número real.

Volvamos ahora a nuestras dos funciones que hemos estado tratando de representar en términos de series de potencias. Tomábamos estas como funciones de la variable real x, a saber (1 – x²)^–1 y (1 + x²)^–1, pero ahora vamos a extender dichas funciones de modo que se aplican a una variable compleja z. No hay ningún problema en hacer esto: simplemente escribimos estas funciones ampliadas como (1 – z²)^–1 y (1 + z²)^–1, respectivamente. En el caso de la primera función real (1 – x²)^–1 éramos capaces de reconocer dónde empezaban los problemas de «divergencia», puesto que la función es singular (en el sentido de que se hace infinita) en los dos lugares x = –1 y x = +1; pero con (1 + x²)^–1 no veíamos ninguna singularidad en estos lugares y, de hecho, ninguna singularidad real en absoluto. Sin embargo, en términos de la variable compleja z, vemos que estas dos funciones son mucho más parecidas. Hemos advertido las singularidades de (1 – z²)^–1 en dos puntos z = ±1 a distancia unidad del origen a lo largo del eje real; pero ahora vemos que (1 + z²)^–1 tiene también singularidades, a saber, en los dos lugares z = ±i (puesto que entonces 1 + z² = 0), siendo estos los dos puntos situados a distancia unidad del origen en el eje imaginario.

Pero ¿qué tienen que ver estas singularidades complejas con la cuestión de la convergencia o divergencia de la serie de potencias correspondiente? Hay una respuesta sorprendente a esta pregunta. Ahora debemos considerar nuestras series de potencias como funciones de la variable compleja z, en lugar de la variable real x, y podemos preguntar por aquellas localizaciones de z en el plano complejo para las que la serie converge y aquellas para las que diverge. La notable respuesta general[9] para cualquier serie de potencias

a₀ + a₁z + a₂z² + a₃z³ + …,

es que existe un círculo en el plano complejo, centrado en 0, llamado círculo de convergencia, con la propiedad de que si el número complejo z está estrictamente dentro del círculo, entonces la serie converge para dicho valor de z, mientras que si z está estrictamente fuera del círculo, entonces la serie diverge para dicho valor de z. (Si la serie converge o no cuando z está exactamente sobre el círculo es realmente una cuestión algo delicada en la que no entraremos aquí, aunque tiene cierta relevancia para las cuestiones a las que llegaremos en §§9.6,7.) En este enunciado estoy incluyendo las dos situaciones límite: aquella para la que la serie diverge para todos los valores no nulos de z, cuando el círculo de convergencia se ha contraído hasta un radio cero, y aquella en que converge para todo z, en cuyo caso el círculo se ha dilatado hasta un radio infinito. Para encontrar dónde está realmente el círculo de convergencia para una función dada, miramos en qué parte del plano complejo están localizadas las singularidades, y dibujamos el círculo más grande con centro en el origen z = 0 y que no contenga ninguna singularidad en su interior (i.e., lo dibujamos de forma que pase por la singularidad más próxima al origen).

En los casos particulares (1 – z²)^–1 y (1 + z²)^–1 que hemos estado considerando, las singularidades son de un tipo simple denominado polos (que surgen donde se anula un polinomio que aparece como divisor en una expresión). Aquí todos estos polos están a distancia unidad del origen, y vemos que el círculo de convergencia es, en ambos casos, el círculo unidad alrededor del origen. Los lugares donde dicho círculo corta al eje real son los mismos en ambos casos, a saber, los dos puntos z = ±1 (véase la Fig. 4.4). Esto explica por qué las dos funciones convergen y divergen en las mismas regiones, un hecho que no era manifiesto simplemente a partir de sus propiedades como funciones de variables reales. Así pues, los números complejos nos ofrecen ideas profundas sobre el comportamiento de series de potencias, ideas que sencillamente no están disponibles a partir de la consideración de su estructura en variable real.

4.5. CÓMO SE CONSTRUYE EL CONJUNTO DE MANDELBROT

Para terminar este capítulo, consideremos otro tipo de cuestión convergencia/divergencia. Es la que subyace en la construcción de esa configuración extraordinaria, mencionada en §1.3 y mostrada en la Fig. 1.2, conocida como el conjunto de Mandelbrot. De hecho, este es solo un subconjunto del plano complejo de Wessel que puede definirse de un modo notablemente simple, si lo comparamos con la extrema complicación de dicho conjunto. Todo lo que tenemos que hacer es examinar las aplicaciones repetidas del reemplazamiento

z z² + c,

donde c es un número complejo escogido. Consideremos c como un punto en el plano complejo y empecemos con z = 0. Entonces iteramos esta transformación (i.e., la aplicamos repetidamente una y otra vez) y vemos cómo se comporta el punto z en el plano complejo. Si escapa al infinito, entonces el punto c se marca en color blanco. Si z se mueve por cierta región restringida sin llegar nunca al infinito, entonces c se marca en color negro. ¡La región negra nos da el conjunto de Mandelbrot!

Describamos este procedimiento con un poco más de detalle. ¿Cómo procede la iteración? En primer lugar, fijamos c. Luego tomamos algún punto z y aplicamos la transformación, de modo que z se convierte en z² + c. Después la aplicamos otra vez, de modo que ahora reemplazamos la «z» en z² + c por z² + c y obtenemos (z² + c)² + c. A continuación reemplazamos la «z» en z² + c por (z² + c)² + c, de modo que nuestra expresión se convierte en ((z² + c)² + c)² + c. Luego continuamos reemplazando la «z» en z² + c por ((z² + c)² + c)² + c, y obtenemos (((z² + c)² + c)² + c)² + c, y así sucesivamente.

Veamos ahora qué sucede si empezamos en z = 0 e iteramos de esta manera. (Simplemente ponemos z = 0 en las expresiones anteriores.) Obtenemos la secuencia

0, c, c² + c, (c² + c)² + c, ((c² + c)² + c)² + c, …

Esto nos da una sucesión de puntos en el plano complejo. (Si trabajáramos con un computador, no utilizaríamos las expresiones algebraicas anteriores, sino que procederíamos de forma puramente numérica para cada elección individual del número complejo c. Resulta mucho más «barato» computacionalmente hacer la aritmética desde el principio cada vez.) Ahora, para cualquier valor dado de c, puede suceder una de dos cosas: (i) los puntos de la secuencia se alejan a distancias cada vez mayores, i.e., la secuencia no está acotada, o (ii) cada uno de los puntos yace a una distancia del origen menor que cierto valor dado (es decir, dentro de cierto círculo alrededor del origen) en el plano complejo, i.e., la secuencia está acotada. Las regiones blancas de la Fig. 1.2 son las localizaciones de c que dan una secuencia no acotada (i), mientras que las regiones negras son las localizaciones de c para las que se da el caso (ii); el conjunto de Mandelbrot propiamente dicho es la totalidad de la región negra.[10]

La complejidad del conjunto de Mandelbrot surge del hecho de que la secuencia iterada puede permanecer acotada de muchas maneras diferentes, y a veces muy complicadas. Puede haber combinaciones de ciclos y «casi» ciclos de varios tipos, que puntean el plano de diversas formas complicadas, pero nos llevaría demasiado lejos tratar de entender en detalle cómo surge la extraordinaria complejidad de este conjunto, donde están implicadas cuestiones sutiles de análisis complejo y teoría de números. El lector interesado puede consultar Peitgen y Reichter (1986) y Peitgen y Saupe (1988) para más información e imágenes (véase también Douady y Hubbard, 1985).

Notas

Sección 4.1

4.1. Véase el ejercicio [4.2] para estas reglas.

Sección 4.2

4.2. Una consecuencia directa[4.6] es que cualquier polinomio complejo de la sola variable z factoriza en factores lineales,

a₀ + a₁z + a₂z² + … + anzn = an(z – b₁)(z – b₂)…(z – bn)

y es a este enunciado al que normalmente se llama «el teorema fundamental del álgebra».

4.3. La historia es que Tartaglia había revelado su solución parcial a Cardano solo después de que este hubiera jurado guardar el secreto. Por lo tanto, Cardano no podía publicar su solución más general sin romper su juramento. Sin embargo, en un viaje posterior a Bolonia, en 1543, Cardano examinó los papeles póstumos de Del Ferro y se convenció de la prioridad real de Del Ferro. Consideró que esto le dejaba libre para publicar todos estos resultados (con los debidos reconocimientos a Tartaglia y Del Ferro) en Ars magna en 1545. Tartaglia discrepó, y la disputa tuvo consecuencias muy amargas (véase Wykes, 1969).

4.4. Para más información, véase Van der Waerden (1985).

4.5. La razón para esto es que estamos sumando dos números que son mutuamente complejos conjugados (véase §10.1), y una suma semejante es siempre un número real.

Sección 4.3

4.6. Recordemos de la nota 2.4 que 0^–1 debería significar 1/0, i.e., «uno dividido por cero». Una abreviatura conveniente para expresar el «resultado» de esta operación ilegal es «0^–1 = ∞».

4.7. «Estrictamente»: significa que los valores extremos no están incluidos en el intervalo.

4.8. Para más información, véase, por ejemplo, Hardy (1949).

Sección 4.4

4.9. Véanse, por ejemplo, Priestley (2003), p. 71, en lo referente a «radio de convergencia», y Needham (1967), pp. 67 y 264.

Sección 4.5

4.10. En las imágenes del conjunto de Mandelbrot generadas por ordenador (tales como la Fig. 1.2), uno no puede, por supuesto, computar indefinidamente para asegurar que una secuencia en apariencia acotada está realmente acotada. Es habitual «cortar» la iteración al cabo de un número apropiado de pasos. Sin embargo, retrasar simplemente el corte no mejora necesariamente la apariencia exacta de una imagen, porque los filamentos tienden a desaparecer.

5

Geometría de logaritmos, potencias y raíces

5.1. LA GEOMETRÍA DEL ÁLGEBRA COMPLEJA

Los aspectos de la magia de los números complejos discutidos al final del capítulo anterior implican muchas sutilezas, de modo que retrocedamos un poco y consideremos algunos otros fragmentos de magia más elementales aunque igualmente enigmáticos e importantes. En primer lugar, veamos cómo se representan geométricamente en el plano complejo las reglas para la suma y la multiplicación que encontramos en §4.1. Podemos presentarlas como la ley del paralelogramo y la ley del triángulo semejante, respectivamente, que se muestran en la Fig. 5.1a,b. En concreto, para dos números complejos generales w y z, los puntos que representan w + z y w^z vienen determinados por las afirmaciones respectivas:

los puntos 0, w, w + z, z son los vértices de un paralelogramo

y

los triángulos con vértices 0, 1, w y 0 z, w^z son semejantes.

(Aquí se han adoptado los convenios usuales sobre ordenamientos y orientaciones. Por eso, entiendo que recorremos el paralelogramo cíclicamente, de modo que el segmento de recta que va de w a w + z es paralelo al que va de 0 a z, etc.; más aún, la relación de semejanza entre los dos triángulos no incluye «reflexión». Además, hay casos especiales en que los triángulos y el paralelogramo degeneran de varias maneras.)[5.1] El lector interesado puede comprobar estas reglas por trigonometría y cálculo directo.[5.2] Sin embargo, hay otra manera de considerar estas cosas que evita el cálculo detallado y proporciona intuiciones mayores.

Consideremos la suma y la multiplicación en términos de diferentes aplicaciones (o «transformaciones») que aplican el plano complejo entero en sí mismo. Cualquier número complejo w dado define una «aplicación suma» y una «aplicación multiplicación», que son las operaciones que, cuando se aplican a un número complejo arbitrario z, sumarán w a z y harán el producto de w por z, respectivamente, i.e.,

z w + z y z w^z.

Es fácil ver que la aplicación suma desliza simplemente el plano complejo sin rotación ni cambio de tamaño o forma —un ejemplo de una traslación (véase §2.1)— desplazando el origen 0 al punto w; véase la Fig. 5.2a. La ley del paralelogramo es básicamente una reformulación de esto. Pero ¿qué pasa con la aplicación multiplicación? Esta proporciona una transformación que deja el origen fijo y conserva las formas —y que envía 1 al punto w—. En el caso general combina una rotación con una dilatación (o contracción) uniforme; véase la Fig. 5.2b.[5.3] La ley del triángulo semejante muestra esto de modo efectivo. Esta aplicación tendrá una especial importancia para nosotros en §8.2.

En el caso particular w = i, la aplicación multiplicación es simplemente una rotación a izquierdas (i.e., en sentido contrario a las agujas del reloj) de un ángulo recto . Si aplicamos esta operación dos veces, obtenemos una rotación de π, que es simplemente una reflexión respecto al origen; en otras palabras, es la aplicación multiplicación que hace corresponder a cada número complejo z su negativo. Esto nos proporciona una realización gráfica de la «misteriosa» ecuación i² = –1 (Fig. 5.3). La operación «multiplicar por i» queda realizada como la transformación geométrica «rotar un ángulo recto». Visto de este modo, no parece tan misterioso que el «cuadrado» de esta operación (i.e., hacerla dos veces) produzca el mismo efecto que la operación de «tomar el negativo». Por supuesto, esto no elimina la magia y el misterio de por qué el álgebra compleja funciona tan bien, ni nos habla de un papel físico claro para estos números. Podríamos preguntarnos, por ejemplo: ¿por qué rotar solo en un plano? ¿Qué pasa en tres dimensiones? Más adelante abordaré diferentes aspectos de esta cuestión, especialmente en §§11.2,3, §18.5, §§21.6,9, §§22.2,3,8-10, §33.2 y §34.8.

En nuestra descripción de un número complejo en el plano utilizábamos las coordenadas cartesianas estándar (x, y) para un punto en el plano, pero alternativamente podríamos utilizar las coordenadas polares [r, θ]. Aquí, el número real positivo r mide la distancia al origen y θ mide el ángulo que forma la recta que une el origen y el punto z con el eje real, medido dicho ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj; véase la Fig. 5.4a. La cantidad r se conoce como el módulo del número complejo z, que solemos escribir como

r = |z|,

y θ como su argumento (o, en teoría cuántica, se conoce a veces como su fase). En el caso z = 0, no tenemos que preocuparnos por θ, pero podemos seguir definiendo r como la distancia al origen, que en este caso da simplemente r = 0.

Para ser más precisos, podríamos insistir en que θ esté comprendido en un intervalo concreto, tal como –π < θ ≤ π (que es el convenio estándar). Alternativamente, podemos considerar simplemente el argumento como algo con la ambigüedad de que está permitido añadirle múltiplos enteros de 2π sin que nada se vea afectado. Se trata solo de que, cuando medimos el ángulo, podemos dar tantas vueltas alrededor del origen como queramos y en cualquier sentido (véase la Fig. 5.4b). (Este segundo punto de vista es en realidad el más profundo, y enseguida tendrá algunas implicaciones para nosotros.) A partir de la Fig. 5.5 y la trigonometría elemental, vemos que

x = r cos θ e y = r sen θ,

y recíprocamente que

donde θ = tan^–1(y/x) significa un valor concreto de la función multivaluada tan^–1. (Para aquellos lectores que han olvidado la trigonometría, las dos primeras fórmulas simplemente reexpresan las definiciones del seno y el coseno de un ángulo en términos de un triángulo rectángulo: «el coseno de un ángulo es igual al lado adyacente dividido por la hipotenusa» y «el seno de un ángulo es igual al lado opuesto dividido por la hipotenusa», siendo r la hipotenusa; las dos siguientes expresan el teorema de Pitágoras y, en forma inversa, «la tangente de un ángulo es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente». Asimismo, habría que advertir que «tan^–1» es la función inversa de «tan», y no el recíproco, de modo que la ecuación anterior θ = tan^–1(y/x) representa tan θ = y/x. Finalmente, existe una ambigüedad en tan^–1, pues puede añadirse a θ cualquier múltiplo entero de 2π y la relación seguirá siendo válida.)[1]

5.2. LA IDEA DEL LOGARITMO COMPLEJO

Ahora, la «ley del triángulo semejante» de la multiplicación de dos números complejos, que se ilustra en la Fig. 5.1b, puede reexpresarse en términos del hecho de que cuando multiplicamos dos números complejos sumamos sus argumentos y multiplicamos sus módulos.[5.4] Adviértase aquí el hecho notable de que, por lo que respecta a la regla para los argumentos, hemos convertido la multiplicación en suma. En esto se basa el uso de los logaritmos (el logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de sus logaritmos: log ab = log a + log b), como se manifiesta en la regla de cálculo (Fig. 5.6), y esta propiedad fue de fundamental importancia para la práctica del cálculo en épocas anteriores.[2] Ahora utilizamos calculadoras electrónicas que hacen las multiplicaciones por nosotros. Aunque esto es mucho más rápido y más exacto que el uso de una regla de cálculo o de unas tablas de logaritmos, perdemos algo muy importante para nuestra comprensión si no extraemos ninguna experiencia directa de la bella y muy importante operación logarítmica. Veremos que los logaritmos desempeñan un papel profundo en relación con los números complejos. De hecho, el argumento de un número complejo es realmente un logaritmo, en un sentido muy claro. Trataremos de entender cómo se produce esto.

Recordemos también que en §4.2 he afirmado que tomar raíces de números complejos es básicamente una cuestión de comprender los logaritmos complejos. Encontraremos que existen algunas relaciones sorprendentes entre logaritmos complejos y trigonometría. Tratemos de ver cómo se combinan todas estas cosas.

En primer lugar, recordemos algo sobre los logaritmos ordinarios. Tomar un logaritmo es la operación inversa de «elevar un número a una potencia», o de la exponenciación. «Elevar a una potencia» es una operación que convierte suma en multiplicación. ¿Por qué es esto? Tomemos cualquier número b. Notemos entonces la fórmula (que convierte suma en multiplicación)

b^{m + n} = b^m × bⁿ,

que es obvia si m y n son enteros positivos, porque cada miembro representa simplemente m + n copias del número b, todas ellas multiplicadas. Lo que tenemos que hacer es encontrar una manera de generalizar esto de modo que m y n no tengan que ser enteros positivos, sino que puedan ser números complejos cualesquiera. Para ello necesitamos encontrar la definición correcta de «b elevado a la potencia z», para z complejo, y queremos que la misma fórmula anterior, a saber b^{(w + z)} = b^w × b^z, sea válida cuando los exponentes w y z son complejos.

De hecho, el procedimiento para hacer esto refleja, en cierta medida, la historia misma de generalizar, paso a paso, desde los enteros positivos a los números complejos, como se hizo, partiendo de Pitágoras, por la obra de Eudoxo, pasando por Brahmagupta, hasta llegar a la época de Cardano y Bombelli (y más tarde), tal como se ha indicado en §3.4 y §4.1. Primero, la noción de «bz» es inicialmente entendida cuando z es un número positivo, simplemente como b × b × b × … × b, con z b’s multiplicadas; en particular, b¹ = b. Luego (siguiendo a Brahmagupta, permitimos que z sea cero, advirtiendo que para conservar b^{(w + z)} = = bw × b^z tenemos que definir b⁰ = 1. A continuación permitimos que z sea negativo, y advertimos, por la misma razón, que para el caso z = –1 debemos definir b^–1 como el recíproco de b (i.e., 1/b), y que b^–n para un número natural n debe ser la n-ésima potencia de b^–1. Luego tratamos de generalizar a situaciones en que z es una fracción, empezando con el caso z = 1/n, donde z es un entero positivo. La aplicación repetida de bw × bz = b^{(w + z)} nos lleva a concluir que (bz)n = b^zn; así pues, haciendo z = 1/n, llegamos a que b^1/n es una raíz n-ésima de b.

Podemos hacer esto dentro del dominio de los números reales, con tal de que el número b se haya tomado positivo. Entonces podemos tomar b^1/n como la única raíz n-ésima positiva de b (cuando n es un entero positivo) y podemos continuar definiendo unívocamente b^z para cualquier número racional z = m/n como la m-ésima potencia de la raíz n-ésima de b y de aquí pasar (utilizando un proceso de paso al límite) a cualquier número real z. Pero si se permite que b sea negativo, entonces tropezamos con una pega en z = 1/2, puesto que Œ„b requiere entonces la introducción de i y caemos en la pendiente resbaladiza hacia los números complejos. En el fondo de dicha pendiente encontramos nuestro mágico mundo complejo, de modo que agarrémonos y sigamos hasta abajo.

Necesitamos una definición de b^p tal que para todos los números complejos p, q y b (con b ≠ 0), tengamos:

b^{p + q} = b^p × b^q.

Podríamos confiar entonces en definir el logaritmo en base b (la operación denotada por «log_b») como la inversa de la función definida por f(z) = b^z, es decir,

z = log_b w si w = b^z.

Entonces esperaríamos

log_b(p × q) = log_b p + log_b q,

de modo que esta noción de logaritmo convertiría realmente la multiplicación en suma.

5.3. MULTIVALUACIÓN, LOGARITMOS NATURALES

Aunque esto es básicamente correcto, hay ciertas dificultades técnicas en hacerlo (y dentro de poco veremos cómo tratarlas). En primer lugar, bz es «multivaluada». Es decir, existen, en general, muchas respuestas diferentes para el significado de «b^z». Hay también una multivaluación adicional para log_b w. Hemos visto ya la multivaluación de b_z con valores fraccionarios de z. Por ejemplo, si z = 1/2, entonces «b_z» debería significar «cierta cantidad t cuyo cuadrado es b», puesto que exigimos que t² = t × t = b × b = b⁺b = b¹ = b. Si un número t satisface esta propiedad, entonces –t también lo hará (puesto que (–t) × (–t) = t² = b). Suponiendo que b ≠ 0, tenemos dos respuestas distintas para b^1/2 (normalmente escritas ± ). Con más generalidad, tenemos n respuestas complejas distintas para b^1/n, cuando n es un entero positivo: 1, 2, 3, 4, 5, … De hecho, tenemos un número finito de respuestas cuando quiera que n sea un número racional (no nulo). Si n es irracional, entonces tenemos un número infinito de respuestas, como veremos enseguida.

Tratemos de ver cómo podemos hacer frente a estas ambigüedades. Empezaremos haciendo una elección concreta de b, a saber, el número fundamental «e», conocido como la base de los logaritmos naturales. Esto reducirá nuestro problema de ambigüedad. Tenemos, como definición de e:

donde los signos de admiración denotan factoriales, i.e.,

n! = 1 × 2 × 3 × 4 × … × n,

de modo que 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, etc. La función definida por f(z) = ez se conoce como función exponencial, y a veces se escribe «exp»; puede considerarse como «e elevado a la potencia z» y esta potencia se define mediante la siguiente modificación sencilla de la serie anterior para e:

Esta importante serie de potencias converge realmente para todos los valores de z (de modo que tiene un círculo de convergencia infinito; véase §4.4). La suma infinita hace una elección particular para la ambigüedad en «bz» cuando b = e. Por ejemplo, si z = 1/2, entonces la serie nos da la cantidad concreta positiva + y no –. El hecho de que z = 1/2 dé realmente una cantidad e^1/2 cuyo cuadrado es e se sigue del hecho de que ez, definida por esta serie,[5.5] siempre tiene la propiedad requerida «de suma a multiplicación»

e^{a + b} = e^ae^b,

de modo que (e)² = e e = e ⁺ = e¹ = e.

Tratemos de utilizar esta definición de ez para darnos un logaritmo inambiguo, definido como la inversa de la función exponencial:

z = log w si w = e^z.

Esto se conoce como el logaritmo natural (y escribiré la función simplemente como «log», sin un símbolo para la base).[3] De la anterior propiedad «de suma a multiplicación», esperamos una regla «de multiplicación a suma»:

log ab = log a + log b.

No es inmediatamente obvio que tal inverso de e^z exista necesariamente. Sin embargo, resulta en efecto que para cualquier número complejo w, distinto de 0, siempre existe z tal que w = e^z, de modo que podemos definir log w = z. Pero aquí hay una trampa: hay más de una respuesta.

¿Cómo expresamos estas respuestas? Si [r, θ] es la representación polar de w, entonces podemos escribir su logaritmo z en la forma cartesiana habitual (z = x + iy) como

z = log r + iθ,

donde log r es el logaritmo natural ordinario de un número real positivo —la inversa de la exponencial real—. Resulta intuitivamente claro de la Fig. 5.7 que semejante función logarítmica real existe. En la Fig. 5.7a tenemos la gráfica de r = e^x. Simplemente intercambiamos los ejes para obtener la gráfica de la función inversa x = log r, como en la Fig. 5.7b. No es tan sorprendente que la parte real de z = log w sea simplemente un logaritmo real ordinario. Lo que es algo más notable[4] es que la parte imaginaria de z es simplemente el ángulo θ, que es el argumento del número complejo w. Este hecho hace explícito mi anterior comentario acerca de que el argumento de un número complejo es realmente una forma de logaritmo.

Recordemos que existe una ambigüedad en la definición del argumento de un número complejo. Podemos añadir a θ cualquier múltiplo entero de 2π, y esto también servirá (recordemos la Fig. 5.4b). En consecuencia, hay muchas soluciones z diferentes para una elección dada de w en la relación w = e^z. Si tomamos uno de estos z, entonces z + 2πin es otra posible solución, donde n es cualquier entero que queramos escoger. Así pues, el logaritmo de w es ambiguo en cuanto que está definido salvo la suma de cualquier múltiplo entero de 2πi. Debemos tener esto en cuenta con expresiones tales como log ab = = log a + log b, asegurándonos de que se hacen las correspondientes y adecuadas elecciones de logaritmo.

En esta etapa, esta característica de los logaritmos complejos parece ser solo una incomodidad. Sin embargo, veremos en §7.2 que es absolutamente capital para algunas de las más poderosas, útiles y mágicas propiedades de los números complejos. El análisis complejo depende de ello de forma crucial. Por el momento, tratemos solo de apreciar la naturaleza de la ambigüedad.

Otra forma de entender esta ambigüedad en log w consiste en advertir la sorprendente fórmula

e^2πi = 1,

de donde e^{z + 2πi} = ez = w, etc., lo que demuestra que z + 2πi es un logaritmo de w tan bueno como lo es z (y entonces podemos repetir esto tantas veces como queramos). La fórmula anterior está estrechamente relacionada con la famosa fórmula de Euler

e^πi + 1 = 0

(que relaciona los cinco números fundamentales 0, 1, i, π y e en una expresión casi mística).[5.6]

Podemos entender mejor estas propiedades si tomamos la exponencial de la expresión z = log r + iθ para obtener

w = e^z = e^{log r + iθ} = e^{log r}e^iθ = re^iθ.

Esto demuestra que la forma polar de cualquier número complejo w, que yo había estado denotando hasta ahora por [r, θ], puede escribirse de forma más reveladora como

w = re^iθ.

De esta forma, es evidente que si multiplicamos dos números complejos, tomamos el producto de sus módulos y la suma de sus argumentos (re^iθse^iΦ = rse^{i(θ +Φ)}, de modo que r y s se multiplican, mientras que θ y Φ se suman, teniendo en cuenta que restar 2πi de θ + Φ no supone ninguna diferencia), como está implícito en la «ley del triángulo semejante» de la Fig. 5.1b. En lo sucesivo abandonaré la notación [r, θ] y utilizaré en su lugar la expresión mostrada más arriba. Nótese que si r = 1 y θ = π, obtenemos –1 y recuperamos la famosa fórmula de Euler anterior e^πi + 1 = 0, utilizando la geometría de la Fig. 5.4a; si r = 1 y θ = 2π, obtenemos +1 y recuperamos e^πi = 1.

Fig. 5.8. El círculo unidad, que consiste en números complejos de módulo unidad. La fórmula de Cotes-Euler los da como e^iθ = cos θ + i sen θ para θ real.

El círculo con r = 1 se denomina el círculo unidad en el plano complejo (véase la Fig. 5.8). Este está dado por w = e^iθ para θ real, según la expresión de arriba. Comparando esta expresión con las anteriores x = r cos θ e y = r sen θ dadas arriba para las partes real e imaginaria de lo que ahora es la cantidad w = x + iy, obtenemos la prolífica «fórmula de (Cotes-)Euler»[5]

e^iθ = cos θ + i sen θ,

que básicamente engloba los elementos esenciales de la trigonometría en las propiedades mucho más simples de las funciones exponenciales complejas.

Veamos ahora cómo funciona esto en casos elementales. En particular, la relación básica e^{a + b} = e^ae^b, cuando se desarrolla en términos de partes real e imaginaria, da inmediatamente[5.7] las expresiones de apariencia mucho más complicada (sin duda tristemente familiares para algunos lectores):

cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b,

sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b.

Análogamente, el desarrollo de e^3iθ = (e^iθ)³, por ejemplo, da rápidamente[6],[5.8]

cos 3θ = cos³ θ – 3 cos θ sen² θ,

sen 3θ = 3 sen θ cos² θ – sen³ θ.

Hay realmente magia en la forma directa en que tales fórmulas algo complicadas surgen de sencillas expresiones con números complejos.

5.4. POTENCIAS COMPLEJAS

Volvamos ahora a la cuestión de definir w^z (o b^z, como hemos escrito previamente). Podemos conseguir esto escribiendo

w^z = ez ^{log w}

(puesto que esperamos que e^{z log w} = (e^{log w})^z y e^{log w} = w). Pero notemos que, debido a la ambigüedad en log w, podemos añadir a log z cualquier múltiplo entero de 2πi para obtener otra respuesta admisible. Esto significa que podemos multiplicar o dividir cualquier elección particular de w^z por e^{z • 2pi} cualquier número de veces y seguimos teniendo un «w^z» admisible. Resulta divertido ver la configuración de puntos en el plano complejo que da esto en el caso general. Esto se ilustra en la Fig. 5.9. Los puntos están en las intersecciones de dos espirales equiangulares. (Una espiral equiangular —o logarítmica— es una curva en el plano que forma un ángulo constante con las líneas rectas que irradian de un punto en el plano.)[5.9]

Esta ambigüedad nos lleva a todo tipo de problemas si no tenemos cuidado.[5.10] La mejor forma de evitar tales problemas parece consistir en adoptar la regla de que la notación w^z se utilice solo cuando se ha especificado una elección particular de log w. (En el caso especial de e^z, el convenio tácito es hacer siempre la elección particular log e = 1. Entonces, la notación estándar ez es consistente con nuestra más general w^z.) Una vez que se ha hecho esta elección de log w, entonces w^z está definida inequívocamente para todos los valores de z.

Puede comentarse en este punto que también necesitamos una especificación de log b si queremos definir el «logaritmo en base b» mencionado antes en esta sección (la función denotada por «log_b»), porque necesitamos un w = bz inequívoco para definir z = log_b w. Aun así, log_b w será por supuesto multivaluada (como lo era log w), donde podemos sumar a log_b w cualquier múltiplo entero de 2πi/log b.[5.11]

Una curiosidad que ha intrigado enormemente a algunos matemáticos en el pasado es la cantidad iⁱ. Podría parecer que «no puede haber nada más imaginario que esto». Sin embargo, encontramos la respuesta real

iⁱ = e^{i log i} = e^{i • πi} = e^–π/2 = 0,207 879 576…,

especificando log i = πi.[5.12] Hay también muchas otras respuestas,

dadas por las otras especificaciones de log i. Estas se obtienen multiplicando la cantidad anterior por e^2πn, donde n es un entero (o, de forma equivalente, elevando la cantidad anterior a cualquier potencia de la forma 4n + 1, donde n es un entero positivo o negativo).[5.13] Es sorprendente que todos los valores de iⁱ son, de hecho, números reales.

Veamos cómo funciona la notación w^z para z = 1/2. Esperamos ser capaces de representar las dos cantidades ± como «w^1/2» en algún sentido. De hecho, para obtener estas dos cantidades basta con especificar primero un valor para log w y especificar luego otro, donde sumamos 2πi al primero para obtener el segundo. Esto da lugar a un cambio de signo en w^1/2 (debido a la fórmula de Euler e^πi = –1). De modo análogo, podemos generar todas las n soluciones zⁿ = w cuando n es 3, 4, 5, … como la cantidad w^1/n, cuando se especifican sucesivamente diferentes valores de log w.[5.14] Con más generalidad, podemos volver a la cuestión de las raíces z-ésimas de un número complejo w no nulo que he mencionado en §4.2. Podemos expresar esta raíz z-ésima como la expresión w^1/z, y generalmente obtenemos un número infinito de valores alternativos para esto, dependiendo de qué elección de log w se especifique. Con la elección específica correcta para log (w^1/z), a saber, la dada por (log w)/z, obtenemos realmente (w^1/z)^z = w. Notamos, con más generalidad, que

(wa)^b = w^ab,

donde una vez que hemos hecho una especificación de log w (para el segundo miembro), debemos especificar (para el primer miembro) que log (w^a) sea a log w.[5.15]

Cuando z = n es un entero positivo, entonces las cosas son mucho más simples, y obtenemos precisamente n raíces. En este caso se da una situación de interés particular cuando w = 1. Entonces, especificando sucesivamente posibles valores de log 1, a saber, 0, 2πi, 4πi, 6πi, … obtenemos 1 = e⁰, e^2πi/n, e^4πi/n, e^6πi/n, … para los posibles valores de 1^1/n. Podemos escribirlos como 1, ε, ε², ε³, … donde ε = e^2πi/n. En términos del plano complejo, obtenemos n puntos igualmente espaciados alrededor del círculo unidad, llamados raíces n-ésimas de la unidad. Estos puntos constituyen los vértices de un n-ágono regular (véase la Fig. 5.10). (Nótese que las elecciones –2πi, –4πi, –6πi, etc., para log 1 darían meramente las mismas raíces n-ésimas, en orden inverso.)

Fig. 5.10. Las raíces n-ésimas de la unidad e^{2 π ri/n}(r = 1, 2, …, n), igualmente espaciadas alrededor del círculo unidad, proporcionan los vértices de un n-ágono regular. Aquí n = 5.

Resulta interesante observar que, para un n dado, las raíces n-ésimas de la unidad constituyen lo que se denomina un grupo multiplicativo finito, más concretamente, el grupo cíclico Z_n (véase §13.1). Tenemos n cantidades con la propiedad de que podemos multiplicar dos cualesquiera de ellas y obtener otra. También podemos dividir una por otra para obtener una tercera. Como ejemplo, consideremos el caso n = 3. Ahora obtenemos tres elementos 1, ω y ω², donde ω = e^2πi/3 (de modo que ω³ = 1 y ω^–1 = ω²). Tenemos las siguientes tablas simples de multiplicación y división para estos números:

En el plano complejo, estos números concretos están representados como los vértices de un triángulo equilátero. La multiplicación por ω rota el triángulo π (i.e., 120°) en sentido contrario a las agujas del reloj, y la multiplicación por ω² lo rota π en el sentido de las agujas; para la división, la rotación es en sentido opuesto (véase la Fig. 5.11).

Fig. 5.11. Triángulo equilátero de raíces cúbicas 1, ω y ω² de la unidad. La multiplicación por ω rota 120° en sentido contrario a las agujas del reloj, y la multiplicación por ω², en el sentido de las agujas del reloj.

5.5. ALGUNAS RELACIONES CON LA FÍSICA DE PARTÍCULAS MODERNA

Números como estos tienen interés en la moderna física de partículas, pues proporcionan los casos posibles de un número cuántico multiplicativo. En §3.5 he comentado el hecho de que los números cuánticos (escalares) aditivos de la física de partículas están invariablemente cuantificados, hasta donde conocemos, por enteros. Existen también unos pocos ejemplos de números cuánticos multiplicativos, y estos parecen estar cuantificados en términos de las raíces n-ésimas de la unidad. Solo conozco unos pocos ejemplos de tales cantidades en la física de partículas convencional, y en la mayoría de estos la situación es el caso relativamente sin interés n = 2. Hay un caso claro en que n = 3 y posiblemente un caso para el que n = 4. Por desgracia, en la mayoría de los casos el número cuántico no es universal, i.e., no puede aplicarse de forma consistente a todas las partículas. En tales situaciones, me referiré al número cuántico como solo aproximado.

La magnitud física denominada paridad es un número cuántico multiplicativo (aproximado) con n = 2. (Hay también otras magnitudes aproximadas n = 2, similares en muchos aspectos a la paridad, tal como la g-paridad. No las discutiré aquí.) La noción de paridad para un sistema compuesto se construye (multiplicativamente) a partir de las paridades de sus partículas constituyentes básicas. Para una de tales partículas constituyentes, su paridad puede ser par, en cuyo caso la reflexión especular de la partícula es igual que la propia partícula (en un sentido apropiado); alternativamente, su paridad puede ser impar, en cuyo caso su reflexión especular es lo que se denomina su antipartícula (véanse §3.5, §§24.1-3,8 y §26.4). Puesto que la noción de reflexión especular, o de tomar la antipartícula, es algo «cuyo cuadrado es la unidad», i.e., hacerla dos veces nos devuelve al punto de partida, el número cuántico —llamémoslo ε— tiene que tener la propiedad ε² = 1, de modo que debe ser una «raíz n-ésima de la unidad» con n = 2, i.e., ε = 1 o ε = –1). Esta noción es solo aproximada porque la paridad es una magnitud que no se conserva en las denominadas «interacciones débiles» y, en realidad, quizá no haya una paridad bien definida para ciertas partículas a causa de ello (véanse §§25.3,4).

Además, la noción de paridad se aplica, en las descripciones normales, solo a la familia de partículas conocidas como bosones. Las demás partículas pertenecen a otra familia y se conocen como fermiones. La distinción entre bosones y fermiones es muy importante aunque algo sofisticada, y llegaremos a ella más adelante, en §§23.7,8. (En una de sus manifestaciones, tiene que ver con lo que sucede cuando rotamos de forma continua el estado de la partícula hasta completar un giro de 2π (i.e., 360°). Solo los bosones quedan completamente restaurados en sus estados originales tras una rotación semejante. En el caso de los fermiones habría que hacer dos veces esta rotación. (Véanse §11.3 y §22.8.) Hay un sentido en el que «dos fermiones hacen un bosón», mientras que «dos bosones hacen también un bosón» y «un bosón y un fermión hacen un fermión». Así pues, podemos asignar el número cuántico multiplicativo –1 a un fermión y +1 a un bosón para describir su naturaleza fermión/bosón, y tenemos otro número cuántico multiplicativo con n = 2. Hasta donde se sabe, esta magnitud es un número cuántico multiplicativo exacto.

En mi opinión, hay también una noción de paridad que puede aplicarse a fermiones, aunque no parece que esta sea una terminología convencional. Esta debe combinarse con el número cuántico fermión/bosón para dar un número cuántico combinado multiplicativo con n = 4. Para un fermión, el valor de la paridad tendría que ser +i o –i, y su doble reflexión especular tendría el efecto de una rotación de 2π. Para un bosón, el valor de la paridad sería ±1, como antes.

El número cuántico multiplicativo con n = 3 que he mencionado es a lo que me referiré como quarkedad. (Esta no es una terminología estándar, ni es habitual referirse a este concepto como número cuántico, pero recoge un aspecto importante de nuestro conocimiento actual de la física de partículas.) En §3.5 he mencionado el moderno punto de vista según el cual se supone que las partículas que «interaccionan fuertemente» conocidas como hadrones (protones, neutrones, mesones-π, etc.) están compuestas de quarks (véase §25.6). Estos quarks tienen valores para su carga eléctrica que no son múltiplos enteros de la carga del electrón, sino múltiplos enteros de un tercio de dicha carga. Sin embargo, los quarks no pueden existir como partículas individuales independientes, y sus compuestos solo pueden existir como individuos independientes si la suma de sus cargas es un número entero, en unidades de la carga del electrón. Sea q el valor de la carga eléctrica medida en unidades negativas de la carga del electrón (de modo que para el propio electrón tenemos q = –1, ya que la carga del electrón se cuenta como negativa según el convenio usual). Para los quarks, tenemos q = 2/3 o –1/3; para los antiquarks, q = 1/3 o –2/3. Así pues, si tomamos para la quarkedad el número cuántico multiplicativo e^–2qπi, encontramos que toma valores 1, ω y ω². Para un quark, la quarkedad es ω, y para un antiquark es ω². Una partícula puede existir independientemente solo si su quarkedad es 1. De acuerdo con §5.4, los grados de quarkedad constituyen el grupo cíclico Z₃. (En §16.1 veremos cómo, con un elemento «0» adicional y una noción de suma, este grupo puede extenderse al campo finito F₄.)

Tanto en esta sección como en la anterior, he presentado algunos de los aspectos de la magia de los números complejos y he sugerido tan solo algunas de sus aplicaciones. Pero no he mencionado todavía aquellos aspectos de los números complejos (que se verán en el capítulo 7) que a mí personalmente me parecieron los más mágicos de todos cuando los aprendí siendo estudiante de licenciatura en matemáticas. En años posteriores he encontrado aspectos aún más sorprendentes de dicha magia, y uno de estos (descrito al final del capítulo 9) es extrañamente complementario del que más me impresionó siendo estudiante. Estas cosas, sin embargo, dependen de las nociones básicas del cálculo infinitesimal, de modo que para transmitir algo de esto al lector será necesario decir algo sobre ciertas nociones básicas del cálculo. Hay, por supuesto, una razón adicional para hacerlo. ¡El cálculo infinitesimal es esencial para un conocimiento adecuado de la física!

Notas

Sección 5.1

5.1. También deberían señalarse las funciones trigonométricas cot θ = = cos θ/sen θ = (tan θ)^–1, sec θ = (cos θ)^–1 y cosec θ = (sen θ)^–1, así como las versiones «hiperbólicas» de las funciones trigonométricas, senh t = (e^t + e^–t), cosh t = (e^t – e^–t), tanh ^t = senh t/cosh t, etc. Nótese también que las inversas de estas operaciones se denotan por cot^–1, senh^–1, etc., como sucede con la «tan^–1(y/x)» de §5.1.

Sección 5.2

5.2. Los logaritmos fueron introducidos en 1614 por John Neper (Napier) y utilizados con fines prácticos por Henri Briggs en 1624.

Sección 5.3

5.3. Los logaritmos naturales también se escriben habitualmente como «ln».

5.4. De lo que hemos establecido hasta aquí, no podemos inferir que «iθ» en la fórmula z = log r + iθ no debería ser un múltiplo real de iθ. Esto requiere cálculo infinitesimal.

5.5. Roger Cotes (1714) tenía la fórmula equivalente log (cos θ + i sen θ) = = iθ. La e^iθ = cos θ + i sen θ de Euler parece haber aparecido por primera vez treinta años más tarde (véase Euler, 1748).

5.6. Aquí estoy utilizando la notación conveniente (aunque no muy lógica) cos³ θ para (cos θ)³, etc. Debería advertirse la inconsistencia notacional con la (más lógica) cos^–1 θ, que también se denota habitualmente como arc cosθ. La fórmula sen nθ + i cos nθ = (sen θ + i cos θ)ⁿ se suele conocer como «teorema de De Moivre». Parece que también Abraham de Moivre, un contemporáneo de Roger Cotes (véase la nota anterior), ha sido codescubridor de e^iθ = cos θ + i sen θ.

6

Cálculo infinitesimal con números reales

6.1. ¿QUÉ HACE RESPETABLE A UNA FUNCIÓN?

El cálculo infinitesimal —o, según su nombre más sofisticado, análisis matemático— está construido a partir de dos ingredientes básicos: diferenciación e integración. La diferenciación está relacionada con velocidades y aceleraciones, con pendientes y curvaturas de curvas y superficies, y cosas similares. Estas son tasas de cambio de las cosas, y son cantidades definidas localmente, en términos de estructura o comportamiento en los entornos más minúsculos de puntos simples. La integración, por el contrario, está relacionada con áreas y volúmenes, con centros de gravedad y con muchas otras cosas de esa misma naturaleza general. Estas son cosas que implican de una u otra forma medidas de totalidad, y no están definidas meramente por lo que pasa en los entornos locales o infinitesimales de puntos individuales. El hecho notable, conocido como teorema fundamental del cálculo infinitesimal, es que cada uno de estos ingredientes es, en esencia, justo el inverso del otro. Básicamente es esto lo que posibilita que estos dos importantes dominios de estudio matemático se combinen y proporcionen un poderoso cuerpo de conocimiento y de técnica de cálculo.

Esta disciplina del análisis matemático, tal como se originó en el siglo XVII en la obra de Fermat, Newton y Leibniz, con ideas que se remontan hasta Arquímedes en el siglo III a.C., se denomina «cálculo infinitesimal» porque proporciona un cuerpo de técnica de cálculo mediante el que algunos problemas que, de otro modo, serían conceptualmente difíciles de manejar, pueden ser resueltos con frecuencia «de forma automática», siguiendo unas pocas reglas relativamente sencillas que a menudo pueden aplicarse sin necesidad de hacer un gran esfuerzo mental. Pese a todo, en este cálculo hay un contraste sorprendente entre las operaciones de diferenciación e integración atendiendo a lo que es lo «fácil» y lo que es lo «difícil». Cuando se trata de aplicar las operaciones a fórmulas explícitas que implican funciones conocidas, la diferenciación es la «fácil» y la integración la «difícil», y en muchos casos la última puede ser imposible de llevar a cabo de una manera explícita. Por el contrario, cuando las funciones no están dadas en términos de fórmulas, sino que vienen dadas en forma de listas tabuladas de datos numéricos, entonces la integración es la «fácil» y la diferenciación la «difícil» y la que, estrictamente hablando, quizá no sea posible en la forma usual. Las técnicas numéricas están relacionadas generalmente con aproximaciones, pero también en la teoría exacta hay una analogía muy estrecha con este aspecto de las cosas, y de nuevo es la integración la que puede realizarse en circunstancias en las que la diferenciación no puede hacerse. Tratemos de entender algo de esto. Estas cuestiones tienen que ver, de hecho, con lo que realmente se entiende por una «función».

Para Euler y los demás matemáticos de los siglos XVII y XVIII, una «función» significaría algo que se podría escribir explícitamente, como x² o sen x o log(3 – x + e^x), o quizá algo definido por cierta fórmula que incluye una integración o tal vez por una serie de potencias dada explícitamente. En la actualidad, se prefiere pensar en términos de «aplicaciones», mediante las que cierta colección A de números (o entes más generales) llamada dominio de la función se «aplica» en cierta colección B, llamada imagen de la función (véase la Fig. 6.1). El punto esencial de esto es que la función asignará un miembro de la imagen B a cada miembro del dominio A. (Podemos pensar que la función «examina» un número que pertenece a A y, entonces, dependiendo solo de qué número encuentre, produce un número definido perteneciente a B.) Una función de este tipo puede ser simplemente una «tabla de búsqueda». No es necesario que haya una «fórmula» de apariencia razonable que exprese la acción de la función de una manera manifiestamente explícita.

Fig. 6.1. Una función como «aplicación», en donde su dominio (una colección A de números o de otras entidades) se «aplica» en su imagen (otra colección B). A cada elemento de A se le asigna un valor particular en B, aunque diferentes elementos de A pueden alcanzar el mismo valor y algunos valores de B pueden no ser alcanzados.

Consideremos algunos ejemplos. En la Fig. 6.2 he dibujado las gráficas de tres funciones[1] sencillas, a saber, las dadas por x², |x| y θ(x). En cada caso, los espacios dominio e imagen son ambos la totalidad de los números reales, que suelen representarse mediante el símbolo R. La función que estoy denotando por «x[2]» da simplemente el cuadrado del número real que está examinando. La función denotada por «|x|» (llamada valor absoluto) da simplemente x si x es no negativo, pero da –x si x es negativo; así pues, el propio valor |x| no es nunca negativo. La función θ(x) es 0 si x es negativo y 1 si x es positivo; también es habitual definir θ(0) = 1/2. (Esta función se denomina función escalón de Heaviside; véase §21.1 para otra importante influencia matemática de Oliver Heaviside, quizá más conocido por haber postulado por primera vez la «capa de Heaviside» en la atmósfera terrestre, tan importante para las transmisiones por radio.) Cada una de estas es una función perfectamente buena en el sentido moderno del término, pero Euler² habría tenido dificultad en aceptar que |x| o θ(x) fueran realmente una «función» en su sentido del término.

Fig. 6.2. Gráficas de (a) |x|, (b) x², y (c) θ (x); en cada caso el dominio y la imagen son el sistema de los números reales.

¿Por qué podría ser así? Una posibilidad es pensar que la dificultad con |x| y θ(x) es que hay demasiadas cosas del tipo: «si x es tal y cual, entonces tomemos esto y aquello, mientras que si x es …», y no hay una «fórmula bonita» para la función. Sin embargo, esto es un poco vago, y en cualquier caso podríamos preguntarnos qué hay realmente erróneo en que |x| cuente como una «fórmula». Además, una vez que hemos aceptado |x|, podríamos escribir[6.1] una fórmula para θ(x)

(aunque podríamos preguntarnos si hay un sentido aceptable en el que esto da el valor correcto para θ(0), puesto que la fórmula da simplemente 0/0). Una objeción más pertinente es decir que la dificultad con |x| consiste en que no es «suave», y no en que su expresión explícita no sea «bonita». Vemos esto en el «ángulo» en el centro de la Fig. 6.2a. La presencia de este ángulo es lo que impide que |x| tenga una pendiente bien definida en x = 0. Tratemos ahora de entender esta idea.

6.2. PENDIENTES DE FUNCIONES

Como se ha comentado antes, una de las cosas con las que tiene que ver el cálculo diferencial es con hallar «pendientes». Vemos claramente en la gráfica de |x|, tal como se muestra en la Fig. 6.2a, que no tiene una pendiente única en el origen, donde está nuestro molesto ángulo. En cualquier otro lugar, la pendiente está bien definida, pero no en el origen. Debido a esta dificultad en el origen, decimos que |x| no es diferenciable en el origen o, de forma equivalente, que no es suave allí. Por el contrario, la función x² tiene una pendiente perfectamente buena definida unívocamente en todo lugar, como se ilustra en la Fig. 6.2b. De hecho, la función x² es diferenciable en todo lugar.

La situación con θ(x), tal como se ilustra en la Fig. 6.2c, es incluso peor que para |x|. Nótese que θ(x) da un «salto» desagradable en el origen (x = 0). Decimos que θ(x) es discontinua en el origen. Por el contrario, las dos funciones x² y |x| son continuas en todo lugar. La dificultad de |x| en el origen no es una solución de continuidad, sino de diferenciabilidad. (Aunque la solución de continuidad y de suavidad son cosas diferentes, son realmente conceptos interrelacionados, como veremos en breve.)

Ninguno de estos fallos hubiera agradado, presumiblemente, a Euler, y parecen proporcionar razones por las que |x| y θ(x) podrían no ser consideradas como funciones «propiamente dichas». Pero consideremos ahora las dos funciones ilustradas en la Fig. 6.3. La primera, x³, sería aceptable para el criterio de cualquiera; pero ¿qué pasa con la segunda, que puede definirse mediante la expresión x|x|, y que ilustra la función que es x² cuando x es no negativo y –x² cuando x es negativo? A simple vista, las dos gráficas parecen muy similares y ciertamente «suaves». De hecho, ambas tienen un valor perfectamente bueno para la «pendiente» en el origen, a saber, «cero» (lo que significa que las curvas tienen allí una pendiente horizontal) y son en realidad «diferenciables» en todo lugar, en el sentido más directo de dicha palabra. Pese a todo, x|x| no parece ser ciertamente el tipo «bonito» de función que hubiera satisfecho a Euler.

Fig. 6.3. Gráficas de (a) x³ y (b) x|x| (i.e., x² si x ≥ 0 y –x² si x < 0).

Lo que «falla» con x|x| es que no tiene una curvatura bien definida en el origen, y la noción de curvatura es ciertamente algo que concierne al cálculo diferencial. De hecho, la «curvatura» es algo que incluye lo que se denominan «derivadas segundas», que significa hacer la «diferenciación» dos veces. En efecto, decimos que la función x|x| no es dos veces diferenciable en el origen. Llegaremos a las derivadas segundas y superiores en §6.3.

Para empezar a entender todo esto, necesitaremos ver qué es lo que hace realmente la operación de diferenciación. Para ello tenemos que saber cómo se mide una pendiente. Esto se ilustra en la Fig. 6.4. He mostrado una función de apariencia bastante representativa que llamaré f(x). La curva de la Fig. 6.4a muestra la relación y = f(x), donde el valor de la coordenada y mide la altura, mientras que x mide el desplazamiento horizontal, como es habitual en una descripción cartesiana. He indicado la pendiente de la curva en un punto particular p, como el incremento en la coordenada y dividido por el incremento en la coordenada x, cuando procedemos a lo largo de la línea tangente a la curva en el punto p. (La definición técnica de «línea tangente» depende de los procedimientos adecuados de paso al límite, pero no es mi propósito ahora el discutir estos tecnicismos. Espero que el lector encontrará mis descripciones intuitivas adecuadas para nuestros propósitos inmediatos.)[3] La notación estándar para el valor de dicha pendiente es dy/dx. Podemos considerar «dy» como un incremento muy pequeño en el valor de y a lo largo de la curva y dx como el correspondiente incremento minúsculo en el valor de x. (Aquí, la corrección técnica nos exigiría un paso al «límite», a medida que cada uno de estos minúsculos incrementos se reducen a cero.)

Fig. 6.4. Representación cartesiana de (a) y = f(x); (b) la derivada u = f′(x) (= dy/dx), y (c) la segunda derivada f″(x) = d²y/dx². (Nótese que f(x) tiene pendiente horizontal solamente donde f′(x) corta al eje x, y tiene un punto de inflexión donde f″(x) corta al eje x.)

Ahora podemos considerar otra curva, que representa (frente a x) dicha pendiente en cada punto p, para las diversas elecciones posibles de la coordenada x; véase la Fig. 6.4b. De nuevo, estoy utilizando una descripción cartesiana, pero ahora es dy/dx, en lugar de y, lo que se representa en vertical. El desplazamiento horizontal sigue estando medido por x. La función que se está representando aquí se denomina normalmente f′(x), y podemos escribir dy/dx = f′(x). Llamamos a dy/dx la derivada de y con respecto a x, y decimos que la función f′(x) es la derivada[4] de f(x).

6.3. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; FUNCIONES C^∞-SUAVES

Veamos ahora lo que sucede cuando tomamos una derivada segunda. Esto significa que ahora estamos considerando la función-pendiente para la nueva curva de la Fig. 6.4b, que muestra u = f′(x), donde ahora u representa a dy/dx. En la Fig. 6.4c he mostrado esta función-pendiente de «segundo orden», que es la gráfica de du/dx frente a x, de la misma forma que lo hemos hecho antes para dy/dx, de modo que el valor du/dx nos da ahora la pendiente de la segunda curva u = f′(x). Esto nos da lo que se denomina derivada segunda de la función original f(x), y se escribe normalmente f″(x). Cuando sustituimos u por dy/dx en la cantidad du/dx obtenemos la derivada segunda de y con respecto a x, que se escribe (con no mucha lógica) d²y/dx².

Nótese que los valores de x donde la función original f(x) tiene pendiente horizontal son precisamente los valores de x donde f′(x) corta al eje x (de modo que dy/dx se anula para dichos valores de x). Los lugares donde f(x) alcanza un máximo o un mínimo (local) se dan en tales posiciones, lo que es importante cuando estamos interesados en encontrar los valores máximos y mínimos (localmente) de una función. ¿Qué pasa con los lugares donde la derivada segunda f″(x) corta al eje x? Estos se dan donde la curvatura de f(x) se anula. En general, estos puntos son aquellos donde la dirección en que se «dobla» la curva y = f(x) cambia de un lado de la curva a otro, en un lugar llamado punto de inflexión. (De hecho, no sería correcto decir que f″(x) «mide» realmente la curvatura de la curva definida por y = f(x), en general; la curvatura real viene dada por una expresión más complicada[5] que f″(x), pero que incluye a f″(x), y la curvatura se anula cuando f″(x) se anula.

Consideremos a continuación nuestras dos funciones x³ y |x|x de apariencia (superficialmente) similar consideradas más arriba. En la Fig. 6.5 a, b, c, he representado x³ y sus derivadas primera y segunda, como he hecho con la función f(x) en la Fig. 6.4, y en la Fig. 6.5 d, e, f he hecho lo mismo con |x|x. En el caso de x³ vemos que no hay ningún problema con la continuidad o la suavidad ni en la primera ni en la segunda derivada. De hecho, la primera derivada es 3x² y la segunda es 6x, ninguna de las cuales hubiese dado ningún momento de preocupación a Euler. (Veremos dentro de poco cómo obtener estas expresiones explícitas.) Sin embargo, en el caso de |x|x encontramos algo muy parecido al «ángulo» de la Fig. 6.2a para la derivada primera, y un comportamiento de «función-escalón» para la derivada segunda, muy similar a la Fig. 6.2c. Tenemos una solución de suavidad para la derivada primera y una solución de continuidad para la segunda. A Euler no le hubiera gustado nada. La derivada primera es realmente 2|x| y la derivada segunda es –2 + 4θ|x|. (Mis lectores más escrupulosos podrían quejarse y aducir que yo no debería escribir tan alegremente una «derivada» para 2|x|, que no es realmente diferenciable en el origen. Cierto, pero no vamos a discutir por eso: puede conseguirse una justificación completa para esto utilizando las nociones que se introducirán al final del capítulo 9.)

Fig. 6.5. (a) (b), (c) Representaciones de x³, su primera derivada 3x² y su segunda derivada 6x, respectivamente. (d), (e), (f) Representaciones de x|x|, su primera derivada 2|x| y la segunda derivada –2 + 4θ(x), respectivamente.

Es fácil imaginar que se pueden construir funciones para las que tales soluciones de suavidad o de continuidad no se manifiestan hasta que no se han llevado a cabo un gran número de derivadas. Lo cierto es que bastará con funciones de la forma xn|x|, donde podemos tomar n como un número entero positivo tan grande como queramos. La terminología matemática para este tipo de cosas es decir que la función f(x) es Cⁿ-suave si puede ser diferenciada n veces (en cada punto de su dominio) y la n-ésima derivada es continua.[6] La función xⁿ|x| es, de hecho, Cⁿ-suave pero no es C^{n + 1}-suave en el origen.

¿Qué valor de n satisfaría a Euler? Parece claro que él no se hubiera contentado con detenerse en cualquier valor particular de n. Con seguridad, el tipo de función autorrespetable que Euler hubiera aprobado sería una que se pudiera diferenciar tantas veces como queramos. Para cubrir esta situación, los matemáticos denominan a una función C^∞-suave si es Cⁿ-suave para todo entero positivo n. Para decirlo de otra forma, una función C^∞-suave debe ser diferenciable tantas veces como queramos.

Podemos presumir que la idea de Euler de una función hubiera exigido algo parecido a la C^∞-suavidad. Al menos podríamos imaginar que él hubiera esperado que su función fuera C^∞-suave en la mayoría de los lugares de su dominio. Pero ¿qué pasa con la función 1/x? (véase la Fig. 6.6.) Ciertamente, esta no es C^∞-suave en el origen. Ni siquiera está definida en el origen en el sentido moderno de una función. A pesar de este problema, nuestro Euler hubiera aceptado ciertamente 1/x como una «función» decente. Después de todo, existe para ella una sencilla fórmula de apariencia natural. Cabe imaginar que Euler no se hubiera interesado tanto en que sus funciones fueran C^∞-suaves en todos los puntos de su dominio (suponiendo que él se hubiera preocupado siquiera de «dominios».) Quizá el que las cosas no funcionasen en el punto singular no importaría. Pero |x| y θ(x) solo fallaban en el mismo «punto singular» en que lo hacía 1/x. Parece que, a pesar de nuestros esfuerzos, aún no hemos captado la noción «euleriana» de función por la que nos estamos esforzando.

Fig. 6.6. Representación de 1/x.

Tomemos otro ejemplo. Consideremos la función h(x) definida por las reglas

La gráfica de esta función se muestra en la Fig. 6.7. Ciertamente, tiene el aspecto de una función suave. De hecho, es muy suave. Es C^∞-suave sobre todo el dominio de los números reales. (Probar esto es el tipo de cosas que uno hace en un curso de la licenciatura en matemáticas. Recuerdo cómo tuve que enfrentarme personalmente a ello cuando era estudiante.)[6.2] A pesar de su absoluta suavidad, uno puede imaginar a Euler mirando por encima del hombro a una función definida de esta manera. Claramente no es «una sola función» en el sentido de Euler. Son «dos funciones pegadas», con independencia de lo suave que sea el trabajo de pegado hecho para empalmar la «falla» en el origen. En contraste, para Euler 1/x es una sola función, pese al hecho de que está separada en dos piezas por una «punta» muy desagradable en el origen, donde no es ni siquiera continua, y mucho menos suave (Fig. 6.6). Para nuestro Euler, la función h(x) no es realmente mejor que |x| o θ(x). En estos casos teníamos claramente «dos funciones pegadas», aunque con trabajos de pegado mucho más chapuceros (y con θ(x), el pegado parece haberse separado por completo).

Fig. 6.7. Representación de y = h(x) (= 0 si x ≤ 0 y = e^–1/x si x > 0), que es C^∞-suave.

6.4. ¿LA NOCIÓN «EULERIANA» DE FUNCIÓN?

¿Cómo hay que entender esta noción «euleriana» de tener solo una única función y no una colección de funciones separadas? Como el ejemplo de h(x) muestra con claridad, la C^∞-suavidad no es suficiente. Resulta que hay dos enfoques de apariencia completamente diferente para resolver esta cuestión. Uno de ellos utiliza los números complejos, y es engañosamente sencillo de enunciar, aunque trascendental en sus consecuencias. Exigimos que nuestra función f(x) se pueda extender a una función f(z) de la variable compleja z, de modo que f(z) sea suave en el sentido de que meramente se requiere que sea una vez diferenciable con respecto a la variable compleja z. (Así pues, f(z) es, en el sentido complejo, un tipo de C¹-función.) El hecho de que sea esto todo lo que necesitamos es una muestra extraordinaria de auténtica magia. Si f(z) puede ser diferenciada una vez con respecto a la variable compleja z, ¡entonces puede ser diferenciada tantas veces como queramos!

Volveré al tema del cálculo infinitesimal complejo en la próxima sección. Pero hay otro enfoque para la solución de este problema de la «noción euleriana de función» que utiliza solo números reales, y este enfoque implica el concepto de serie de potencias que encontramos en §2.5. (Una de las cosas en las que Euler era un auténtico maestro en manipular series de potencias.) Será útil considerar la cuestión de las series de potencias, en esta sección, antes de volver al tema de la diferenciabilidad compleja. El hecho de que, localmente, la diferenciabilidad compleja resulta ser equivalente a la validez del desarrollo en serie de potencias es una de las piezas verdaderamente grandes de la magia de los números complejos.

Llegaré a todo esto a su debido tiempo, pero por el momento quedémonos en las funciones reales. Supongamos que cierta función f(x) tiene realmente una representación en serie de potencias:

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + …

Ahora bien, existen métodos para encontrar, a partir de f(x), cuáles deben ser los coeficientes a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, … Para que exista tal desarrollo, es necesario (aunque no suficiente, como veremos de inmediato) que f(x) sea C^∞-suave, de modo que tendremos nuevas funciones f′(x), f″(x), f″′(x), f″″(x), …, etc., que son las derivadas primera, segunda, tercera, cuarta, etc., de f(x), respectivamente. De hecho, nos interesaremos en los valores de dichas funciones solo en el origen (x = 0), y solo allí necesitamos la C^∞-suavidad de f(x). El resultado (a veces denominado serie de Maclaurin)[7] es que si f(x) tiene un desarrollo tal en serie de potencias, entonces[6.3]

(Recordemos, de §5.3, que n! = 1 × 2 × … × n.) Pero ¿qué pasa a la inversa? Si se dan las aⁿ de este modo, ¿se sigue de ello que la suma realmente nos da f(x) (en un intervalo que incluye al origen)?

Volvamos a nuestra h(x) aparentemente sin fisuras. Quizá podamos detectar un fallo en el punto de unión (x = 0) utilizando esta idea. Tratemos de ver si h(x) tiene realmente un desarrollo en serie de potencias. Haciendo f(x) = h(x) en lo que precede, consideremos los diferentes coeficientes a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, … notando que todos ellos tienen que anularse siempre que x esté a la izquierda del origen, puesto que la serie tiene que coincidir con el valor h(x) = 0. De hecho, encontramos que todos ellos se anulan también para e^–1/x, que es básicamente la razón por la que h(x) es C^∞-suave en el origen, pues empalman todas las derivadas que vienen de los dos lados. Pero esto nos dice también que no hay forma de que la serie de potencias pueda funcionar, puesto que todos los términos son cero (véase el ejercicio [6.1]) y por consiguiente no pueden sumar e^–1/x. Así pues, hay un fallo en la unión en x = 0; la función h(x) no puede expresarse como una serie de potencias. Decimos que h(x) no es analítica en x = 0.

En la exposición anterior me he estado refiriendo realmente a lo que se denominaría un desarrollo en serie de potencias en torno al origen. Un análisis similar se aplicaría a cualquier otro punto del dominio real de la función. La diferencia está entonces en que tenemos que «desplazar el origen» a algún otro punto particular, definido por el número real p en el dominio, lo que significa reemplazar x por x – p en el anterior desarrollo en serie de potencias, para obtener:

f(x) = a₀ + a₁(x – p) + a₂(x – p)² + a₃(x – p)³+ …,

donde ahora

Esto se denomina un desarrollo en serie de potencias en torno a p. La función f(x) se llama analítica en p si puede expresarse como un desarrollo semejante en serie de potencias en algún intervalo que englobe a x = p. Si f(x) es analítica en todos los puntos de su dominio, la llamamos simplemente función analítica o, lo que es equivalente, una función C^ω-suave. Las funciones analíticas son, en un sentido claro, incluso «más suaves» que las funciones C^∞-suaves. Además, tienen la propiedad de que no es posible salir del paso pegando dos funciones analíticas «diferentes», a la manera de los ejemplos θ(x), |x|, x|x|, xⁿ|x|, o h(x), que se han dado antes. Euler se habría mostrado feliz con las funciones analíticas. ¡Son funciones realmente «respetables»!

Sin embargo, resulta complicado seguir estas series de potencias, aunque solo sea en la imaginación. La forma «compleja» de considerarlas es más económica, e incluso nos ofrece una comprensión más profunda. Por ejemplo, la función 1/x no es analítica en x = 0, pero sigue siendo «una función».[6.4] La «filosofía de la serie de potencias» no nos dice esto directamente. Pero desde el punto de vista de los números complejos, 1/x es claramente una sola función, como veremos.

6.5. LAS REGLAS DE DIFERENCIACIÓN

Antes de examinar estas materias será útil decir algo acerca de las maravillosas reglas que nos proporciona el cálculo diferencial; reglas que nos permiten diferenciar funciones casi sin pensar, ¡aunque, por supuesto, solo tras meses de práctica! Estas reglas nos permiten ver la forma de escribir directamente la derivada de muchas funciones, en especial cuando se representan como series de potencias.

Recordemos, de paso, que antes he comentado que la derivada de x³ es 3x². Este es un caso particular de una fórmula sencilla pero importante: la derivada de xⁿ es nx^{n – 1}, que podemos escribir

(Nos distraeríamos demasiado si intentara explicar por qué es válida esta fórmula. No es realmente difícil demostrarlo, y el lector interesado puede encontrar todo lo que se necesita en cualquier libro de texto elemental sobre cálculo infinitesimal.[8] Dicho sea de paso, n no tiene por qué ser entero.) También podemos expresar[9] esta ecuación («multiplicando por dx») mediante la fórmula conveniente

d(xⁿ) = nx^{n – 1}dx.

No necesitamos saber mucho más por lo que respecta a la diferenciación de series de potencias. Hay básicamente otras dos cosas. En primer lugar, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de las funciones:

d[f(x) + g(x)] = df(x) + dg(x).

Esto se extiende a una suma de cualquier número finito de funciones.[10] En segundo lugar, la derivada del producto de una función por una constante es el producto de la constante por la derivada de la función:

d{a f(x)} = a df(x).

Por una «constante» entiendo un número que no varía con x. Los coeficientes a₀, a₁, a₂, a₃, … en la serie de potencias son constantes. Con estas reglas podemos diferenciar directamente cualquier serie de potencias.[6.5]

Otra manera de expresar la constancia de a es

da = 0.

Teniendo esto en cuenta, encontramos que la regla inmediatamente anterior a esta es realmente un caso especial (con g(x) = a) de la «ley de Leibniz»:

d{f(x) g(x)} = f(x) dg(x) + g(x) df(x)

(y d(xⁿ)/dx = nx^{n – 1}, para cualquier número natural n, también puede obtenerse de la ley de Leibniz).[6.6] Otra ley útil es

d{f(g(x))} = f′(g(x))g′(x)dx.

A partir de las dos últimas y de la primera, poniendo f(x)[g(x)]^–1 en la ley de Leibniz, podemos deducir[6.7]

Provisto de estas pocas reglas (y muchísima práctica), uno puede convertirse en un «experto en diferenciación» sin necesidad de tener mucho conocimiento real de por qué funcionan las reglas. Esta es la potencia que tiene un buen cálculo.[6.8] Además, con el conocimiento de las derivadas de tan solo algunas funciones especiales,[6.9] uno puede convertirse en un experto aún mayor. Solo para que el lector no iniciado pueda convertirse en un «miembro al instante» del club de diferenciadores expertos, permítanme dar los ejemplos principales:[11],[6.10]

Esto ilustra el punto mencionado al principio de esta sección según el cual, cuando se nos dan fórmulas explícitas, la operación de diferenciación es «fácil». Por supuesto, con ello no quiero decir que sea algo que uno pueda hacer mientras duerme. De hecho, en ejemplos concretos, puede darse el caso de que se obtengan expresiones realmente muy complicadas. Cuando digo «fácil», quiero decir que hay un procedimiento computacional explícito para llevar a cabo la diferenciación. Si sabemos cómo diferenciar cada uno de los ingredientes de una expresión, entonces los procedimientos del cálculo, como los dados antes, nos dicen cómo llegar a diferenciar la expresión completa. «Fácil», aquí significa en realidad algo que podría ser programado directamente en un computador. Pero las cosas son muy diferentes si tratamos de ir en dirección inversa.

6.6. INTEGRACIÓN

Como se ha afirmado al principio de esta sección, la integración es la operación inversa de la diferenciación. Esto equivale a tratar de encontrar una función g(x) para la que g′(x) = f(x), i.e., encontrar una solución y = g(x) a la ecuación dy/dx = f(x). Otra forma de decirlo es que en lugar de bajar de una imagen a otra en la Fig. 6.4 (o 6.5), tratamos de hacer nuestro camino hacia arriba. La belleza del «teorema fundamental del cálculo infinitesimal» reside en que este procedimiento nos está diciendo cómo calcular las áreas bajo cada curva sucesiva. Echemos una ojeada a la Fig. 6.8. Recordemos que la curva inferior u = f(x) puede obtenerse a partir de la curva superior y = g(x) porque representa las pendientes de esta curva, al ser f(x) la derivada de g(x). Esto es precisamente lo que teníamos antes. Pero empecemos ahora con la curva inferior. Encontramos que la curva superior simplemente expresa las áreas que hay bajo la curva inferior. De forma un poco más explícita: si en la imagen inferior tomamos dos rectas verticales dadas por x = a y x = b, respectivamente, entonces el área limitada por estas dos rectas, el eje x y la propia curva, será la diferencia entre las alturas de la curva superior en esos dos valores de x. Por supuesto, en cuestiones como estas debemos tener cuidado con los «signos». En las regiones donde la curva inferior está por debajo del eje x, las áreas cuentan negativamente. Además, en la imagen he tomado a < b y la «diferencia entre las alturas» de la curva superior en la forma g(b) – g(a). Los signos se invertirían si a > b.

En la Fig. 6.9 he tratado de hacer intuitivamente creíble por qué existe esta relación inversa entre pendientes y áreas. Imaginemos que b sea mayor que a tan solo en una minúscula cantidad. Entonces, el área a considerar, en la imagen inferior, es el área de la franja muy estrecha limitada por las rectas vecinas x = a y x = b. La medida de esta área es esencialmente el producto de la anchura minúscula de la franja (i.e., b – a) por su altura (desde el eje x a la curva). Pero se supone que la altura de la franja está midiendo la pendiente de la curva superior en dicho punto. Por lo tanto, el área de la franja es esta pendiente multiplicada por la anchura de la franja. Pero la pendiente de la curva superior multiplicada por la anchura de la franja es la cantidad en que aumenta la curva superior desde a a b, es decir, la diferencia g(b) – g(a). Así pues, para franjas muy estrechas, el área está medida realmente por esta diferencia. Las franjas más anchas se consideran construidas a partir de grandes números de franjas estrechas, y obtenemos el área total midiendo cuánto aumenta la curva superior en el intervalo completo.

Aquí hay un punto importante que debería sacar a colación. En el paso desde la curva inferior a la curva superior hay una no unicidad en lo que respecta a la altura a que debe situarse globalmente la curva superior. Solo estamos interesados en diferencias entre alturas en la curva superior, de modo que desplazar la curva hacia arriba o hacia abajo en una cantidad constante no supone ninguna diferencia. Esto también queda claro por la interpretación de la «pendiente», puesto que la pendiente en puntos diferentes de la curva superior será exactamente la misma si la desplazamos hacia arriba o hacia abajo. Esto equivale, en nuestro cálculo, a que si sumamos una constante C a g(x), entonces la diferenciación de la función resultante sigue dando f(x):

d(g(x) + C) = dg(x) + dC = f(x) dx + 0 = f(x) dx.

Una función semejante g(x), o equivalentemente g(x) + C para una constante arbitraria C, se denomina integral indefinida de f(x), y escribimos

f(x) dx = g(x) + const.

Esta es solo otra forma de expresar la relación d[g(x) + const.] = f(x) dx, de modo que simplemente consideramos el signo «∫» como el inverso del símbolo «d». Si queremos especificar el área entre x = a y x = b, entonces queremos lo que se denomina la integral definida, y escribimos

f(x) dx = g(b) – g(a).

Si conocemos la función f(x) y queremos obtener su integral g(x), apenas tenemos reglas tan directas para obtenerla como las teníamos para la diferenciación. Se conocen muchos trucos, varios de los cuales pueden hallarse en los libros de texto estándar y en los paquetes informáticos, pero no bastan para tratar todos los casos. De hecho, con frecuencia encontramos que hay que ampliar la familia de funciones estándar explícitas que habíamos estado utilizando previamente, e «inventar» nuevas funciones para expresar los resultados de la integración. En efecto, ya hemos visto esto en los ejemplos especiales que se han dado antes. Supongamos que estuviéramos familiarizados solo con funciones construidas a partir de combinaciones de potencias de x. En el caso de una potencia general xⁿ, podemos integrarla para obtener x^{n + 1}/(n + 1). (Esto es simplemente utilizar nuestra fórmula anterior, en §6.5, con n + 1 en lugar de n: d(xn ^{+ 1})/dx = (n + 1)xⁿ.) Todo va bien hasta que nos preocupamos por lo que hay que hacer en el caso n = –1. Entonces, la supuesta respuesta xn ^{+ 1}/(n + 1) tiene un cero en el denominador, de modo que esto no funciona. ¿Cómo integramos entonces x^–1? Bien, notemos que, por la mayor de las fortunas, en nuestra lista existe la fórmula d(log x) = x^–1 dx. De modo que la respuesta es log x + const.

¡Esta vez hemos tenido suerte! Sencillamente, ya habíamos estudiado antes la función logaritmo por una razón diferente, y conocíamos algunas de sus propiedades. Pero en otras ocasiones bien podríamos encontrarnos con que no hay ninguna función previamente conocida y en cuyos términos pudiéramos expresar nuestra respuesta. En realidad, a menudo las integrales proporcionan los medios adecuados por los que se definen nuevas funciones. En este sentido, dicha integración explícita es «difícil».

Por el contrario, si no estamos tan interesados en expresiones explícitas sino más bien en cuestiones de existencia de funciones que son las derivadas o integrales de funciones dadas, entonces las cosas cambian. La integración es ahora la operación que funciona suavemente y la diferenciación la que causa problemas. Lo mismo es válido cuando se realizan estas operaciones con datos numéricos. Básicamente, el problema con la diferenciación reside en que depende de forma muy crítica de los detalles finos de la función que va a ser diferenciada. Esto puede presentar un problema si no tenemos una expresión explícita para la función que tiene que ser diferenciada. La integración, por el contrario, es relativamente insensible a tales cuestiones, al estar interesada en la naturaleza global de la función que va a integrar. De hecho, cualquier función continua (una C⁰-función) cuyo dominio es un intervalo «cerrado» a ≤ x ≥ b puede ser integrada,[12] y el resultado es una función C¹ (i.e., C¹-suave). Esta puede ser integrada de nuevo, siendo el resultado C², y luego una vez más, dando una función C³-suave, y así sucesivamente. La integración hace las funciones cada vez más suaves, y podemos continuar así indefinidamente. La diferenciación, por el contrario, solo empeora las cosas, y puede llegar a un final en cierto punto, donde la función se hace «no diferenciable».

Pese a todo, existen enfoques de estas cuestiones que hacen posible que el proceso de diferenciación se continúe también indefinidamente. Ya he insinuado esto cuando me he permitido diferenciar la función |x| para obtener θ(x), incluso si |x| es «no diferenciable». Podríamos intentar ir más lejos y diferenciar también θ(x), pese al hecho de que tiene una pendiente infinita en el origen. La «respuesta» es lo que se denomina una función delta de Dirac:[13] una entidad de enorme importancia en las matemáticas de la mecánica cuántica. En realidad, la función delta no es una función en absoluto, en el sentido ordinario (moderno) de «función» que aplica espacios dominio en espacios imagen. No hay ningún «valor» para la función delta en el origen (donde solo podría haber sido infinita) y es cero en los demás lugares. Pese a todo, la función delta encuentra una definición matemática clara dentro de varias clases más amplias de entidades matemáticas, de las que las distribuciones son las mejor conocidas.

Para esto tenemos que extender nuestra noción de Cⁿ-funciones a casos en los que n puede ser un entero negativo. La función θ(x) es entonces una C^–1-función y la función delta es C^–2. Cada vez que diferenciamos, debemos disminuir en una unidad la clase de diferenciabilidad (i.e., la clase se hace más negativa en una unidad). Parecería que con todo esto nos estamos alejando cada vez más de la noción de Euler de una «función decente», y que él se negaría a tener ningún trato con cosas semejantes si no fuera por el hecho de que parecen ser útiles. Pese a todo, encontraremos, a su debido tiempo, que es aquí donde los números complejos nos sorprenden con una ironía, ¡una ironía que se expresa en una de sus mayores hazañas mágicas! Tendremos que esperar hasta el final del capítulo 9 para ser testigos de esta hazaña, pues no es algo que pueda describirse ahora adecuadamente. El lector debe seguir conmigo durante un rato, pues primero hay que preparar el terreno, pavimentado con otros ingredientes de soberbia magia.

Notas

Sección 6.1

6.1. Aquí estoy cometiendo un pequeño «abuso de notación», pues técnicamente x², por ejemplo, denota el valor de la función más que la función. La propia función aplica x en x² y podría denotarse por x x², o por λx[x²], según el cálculo lambda de Alonzo Church (1941); véase el capítulo 2 de Penrose (1989).

6.2. En esta sección me referiré a menudo a las opiniones que Euler podría haber tenido con respecto a la idea de función. Sin embargo, debería dejar claro que el «Euler» al que me estoy refiriendo es en realidad un individuo hipotético o idealizado. No tengo ninguna información directa acerca de cuáles podrían haber sido los puntos de vista del Leonhard Euler real en cualquier caso concreto. Pero las opiniones que estoy atribuyendo a mi «Euler» no parecen estar muy alejadas del tipo de opiniones que el Euler real podría haber expresado. Para más información sobre Euler, véanse Boyer (1968), Thiele (1982) y Dunham (1999).

Sección 6.2

6.3. Para más detalles, véase Burkill (1962).

6.4. Estrictamente hablando, es la función f′ la que es la derivada de la función f; no podemos obtener el valor de f′ en x simplemente a partir del valor de f en x. Véase la nota 6.1.

Sección 6.3

6.5. Viz., f″(x)/[1 + f′(x)²]^3/2.

6.6. De hecho, esto implica que todas las derivadas hasta la n-ésima, esta incluida, deben ser continuas, porque la definición técnica de diferenciabilidad requiere continuidad.

Sección 6.4

6.7. Tradicionalmente, este desarrollo en serie de potencias en torno al origen se conoce (con poca justificación histórica) como serie de Maclaurin; el resultado más general en torno al punto p (véase más adelante en la sección) se atribuye a Brook Taylor (1685-1731).

Sección 6.5

6.8. Véase Edwards y Penney (2002).

6.9. Por el momento, trate solo formalmente las siguientes expresiones, o si no «divida por dx» mentalmente si eso le hace más feliz. La notación que estoy utilizando aquí es compatible con la de las formas diferenciales, que se discutirán en §§12.3-6.

6.10. Sin embargo, hay una sutileza técnica en la aplicación de esta ley a la suma del número infinito de términos que necesitamos para una serie de potencias. Esta sutileza puede ignorarse para valores de x estrictamente dentro del círculo de convergencia; véase §4.4. Véase también Priestley (2003).

6.11. Recordemos de §5.1 que sen^–1, cos^–1 y tan^–1 son las funciones inversas de sen, cos y tan, respectivamente. Así, sen (sen^–1 x) = x, etc. No obstante, debemos tener en cuenta que estas funciones inversas son «funciones multivaluadas», y es habitual seleccionar los valores para los cuales

Sección 6.6

6.12. El requisito importante sobre el dominio es que sea lo que se denomina compacto; véase §12.6. Los intervalos finitos de la recta real que incluyen sus puntos extremos son, de hecho, compactos.

6.13. Al parecer, Oliver Heaviside también había concebido la «función delta» muchos años antes que Dirac.